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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

La recette des entrées à la foire d'Alger a été un certain jour \np{268000}~francs. 

La comptabilité a indiqué \np{2800}~entrées de grandes personnes et \np{1100} entrées d'enfants.

Le lendemain, à titre de réclame les prix d'entrée étaient réduits de $26$ pour cent pour les grandes personne et de $50$ pour cent pour $181$ enfants.

La recette s'est élevée à \np{224000}~francs pour \np{3600} grandes personnes et $400$~enfants.

Quels sont les prix d'entrée normaux pour grande personne et enfant ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On porte sur une droite trois segments consécutifs de même longueur,$ a$ :
\begin{center}AB = BC = CD $= a$.\end{center}

On trace le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AD].

La médiatrice du segment [AD] coupe ce cercle $\mathcal{C}$ en deux points ; soit M l'un de ces points. La droite (MC) recoupe le cercle $\mathcal{C}$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que [EM) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AED}}$.

Calculer en fonction de $a$ la longueur des cordes [MA] et [MD].
\item On prolonge [AE] d'une longueur EF = ED.

Démontrer que (DF) et (CE) sont parallèles.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{EA}}{\text{ED}}$.
\item En posant $\overline{\text{ED}} = x$ et $\overline{\text{EA}} = 2x$, calculer en fonction de $a$,  ED et EA.

\emph{Application numérique} : $a = 5$~cm.
\item Calculer les rapports trigonométriques des angles $\widehat{\text{A}}$ et $\widehat{\text{D}}$ du triangle AED.
\end{enumerate}
\end{document}