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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~B. É. P. C. Alger septembre 1953~\decofourright
}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\bigskip

Une personne dispose de trois capitaux, A, B, C. Le capital A est la demi-somme des deux autres. Si l'on retranche le capital A de la somme des deux autres on trouve \np{20000}~F{}. Enfin, en retranchant C de B, on trouve \np{10000}~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les trois capitaux.
\item Ces capitaux A, B, C sont placés respectivement à des taux $x,\: y,\: z$ proportionnels aux nombres 2, 3 et 4.

En désignant par $S$ la somme de ces taux, les calculer à partir du nombre S.
\item Le capital A est placé pendant 6 mois au taux $x$, calculé à la 2\up{e} question.

Il rapporte $400$~F d'intérêts.

Sachant que le taux est l'intérêt rapporté par un capital de 100 F en 1 an, calculer S et en déduire les valeurs de $x,\: y,\: z$.
\item Quelle valeur aurait-il fallu donner à $S$ dans la 2\up{e} question pour que les taux soient des nombres entiers, sachant que $S$ doit être compris entre $15$ et $20$ ?

Comparer aux précédents les taux ainsi calculés.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} Les questions 1 et 2 sont indépendantes.}
\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un parallélogramme ABCD dans lequel l'angle A est obtus. On mène de C la perpendiculaire à (AB), puis, de A, la perpendiculaire à (BC). Ces deux droites se coupent en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (BE) est perpendiculaire à (AC) et que le quadrilatère ADCE est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre O.
\item On mène (DK) perpendiculaire à (AC) et l'on joint le centre O du cercle précédent au milieu M de [AC].

Comparer OM et EB et en déduire que OM $= \dfrac{\text{DK} - \text{EH}}{2}$, H étant l'intersection de (BE) et de (AC).
\item Établir la relation EH $\cdot$ ED = EA $\cdot$ EC. 
\end{enumerate}
\end{document}