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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Alger septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre les deux équations, la première, en $x$, la deuxième en $y$ :
\[\begin{array}{l c l}
(3x- 1)^2 - (2x + 1)(2x - 1)&=&5(x - 1)^2\:;\\
\dfrac{3 - y}{10} - \dfrac{2y - 1}{2} &=&\dfrac35\left(\dfrac y2 - 1\right)
\end{array}\]

\item En désignant par $x$ la solution de la première et par $y$ celle de la seconde; calculer
\begin{center}$\dfrac xy$\qquad  et \qquad $x- 2y.$\end{center}

Les deux expressions en $x$ et $y$ ainsi obtenues sont les équations de deux droites.

Les construire sur un même graphique ; trouver les coordonnées de leur point commun, I.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un carré ABCD de côté $a$.

Sur [CD] on construit le triangle équilatéral SCD, intérieur au carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La médiatrice de [AB] coupe (AB) en M et (CD) en H.

Exprimer SH et SM en fonction de $a$.

Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{SAM}}$ ?

Calculer $\tan \widehat{\text{SAM}}$.
\item Construire le centre $\mathcal{C}$ du cercle circonscrit au triangle ASB.

Quelle est la nature du quadrilatère OADS ?

Comparer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ et le côté du carré ABCD.
\item Montrer que les triangles ASB et OSD sont semblables.

Établir la relation
\begin{center}AS $\cdot$ OD $= a^2$.\end{center}

En exprimant de deux façons l'aire du quadrilatère OADS, retrouver la relation précédente.
\end{enumerate}
\end{document}