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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Algérie juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Deux villes, A et B, sont distantes de 225 km.

À midi, deux automobiles partent respectivement de A et B et vont à la rencontre l'une de l'autre.

Leurs vitesses moyennes sont respectivement 60 km/h et 75 km/h.

La rencontre a lieu en un village, C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver la valeur du rapport $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}$ et calculer les
distances CA et CB
\item Déterminer l'heure de la rencontre.
\item Écrire les équations des mouvements des deux mobiles en prenant pour origine A, pour sens positif 
 sur la droite AB le sens de A vers B, pour instant zéro 
l'instant de départ.

On désignera par $x_1$ et $x_2$ les abscisses des mobiles à l'instant $t$, le kilomètre étant 
l'unité de longueur et l'heure, l'unité de temps.
\item Représenter graphiquement les variations de 
$x_1$ et $x_2$, en fonction de $t$. En abscisse, le centimètre représentera $20$~minutes ; en ordonnée, 1 centimètre représentera $25$~km.

Utiliser le graphique pour retrouver les résultats obtenus aux deux premiers paragraphes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Sur une demi-droite [A$x$) on prend deux points, H et H$'$, tels que AH $= 4$~cm et AH$' = 9$~cm,et un point B tel que AB $= a$~cm.

On trace un demi-cercle de diamètre [AB], qui coupe les perpendiculaires à [A$x$) menées par H et H$'$ respectivement en M et M$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le point B peut-il être choisi de façon quelconque sur [A$x$) ?

Calculer AM et AM$'$ en fonction de $a$. 

Quelle est la 
valeur du rapport $\dfrac{\text{AM}}{\text{AM}'}$ ?

Montrer qu'elle ne dépend pas de la position de B sur [A$x$).
\item On mène la bissectrice intérieure [A$y$) de l'angle $\widehat{\text{MAM}'}$ ; elle coupe MM$'$ en I.

Puis, par M et M$'$, on mène les perpendiculaires à [A$y$) ; elles coupent cette droite en N et N$'$.

Comparer les triangles AMN et AM$'$N$'$.

Calculer les rapports $\dfrac{\text{MN}}{\text{M}'\text{N}'}$ et $\dfrac{\text{IM}}{\text{IM}'}$.
\item On suppose que $a = 13$~cm.

Calculer le sinus, le cosinus, la tangente de l'angle $\widehat{\text{HMH}'}$.
\end{enumerate}
\end{document}