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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{juin 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Algérie juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(2x + 3)^2 - (3x - 1)^2,\\
B(x)&=& (5x + 2)(7 - 3x)- (10x + 4)(3 - 2x),
\end{array}\]
 puis résoudre les équations 
\begin{center} $A(x) = 0$\qquad  et \qquad B(x) = 0.\end{center}
\item Simplifier la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Soit $F'(x)$ la fraction simplifiée ; quelle valeur de $x$ faut-il exclure pour l'obtenir ?
\item Calculer la valeur numérique de $F'(x)$ pour 
\[x = 4,\qquad x = - 1, \qquad x = - 4,\qquad  x = 1 - \sqrt 3.\]
\item Résoudre l'équation $F'(x) = 1$.
\item Retrouver la racine de cette équation en calculant l'abscisse du point d'intersection des droites 
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ qui ont respectivement pour équation
\begin{center} $y = 4 - x$ \qquad  et \qquad $y = x + 1$\end{center}.
\item Construire ces droites dans un repère rectangulaire d'axes $x'\text{O}x$  et $y'\text{O}y$.

$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en A.

$\left(D_1\right)$ coupe $x'\text{O}x$ en B, $\left(D_2\right)$ coupe $x'\text{O}x$ en C.

Montrer que le triangle ABC est isocèle rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur une demi-droite [A$x$), placer, dans cet ordre, trois points, O, B et C, tels que AO $= a$, 

AB $=2a$, AC $= 3a$,\: $a$ étant une longueur donnée.

En O construire la perpendiculaire O$y$ à [A$x$) et prendre sur cette perpendiculaire un point D tel que OD $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD et OC en fonction de $a$.
\item La perpendiculaire menée de B à la droite OC coupe cette droite en H.
Montrer:
	\begin{enumerate}
		\item que les quatre points D, O, B et H appartiennent à un cercle, dont on précisera la position du centre, I, et la mesure du rayon en fonction de $a$ ;
		\item que la droite (AD) est tangente au cercle (I) défini dans le a. de la question 2.
	\end{enumerate}
\item Établir les égalités
\begin{center}AD$^2 =$ AO $\times$ AB = CO $\times$ CB = CH $\times$ CD\end{center}

et calculer AI en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}