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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Amérique Centrale juin 1988},
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Amérique Centrale}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique Centrale\footnote{Afrique du Sud, Angola, Kenya, Mozambique, Ouganda, Rwanda, Tanzanie, Zambie.)
)
} juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Ion

Écrire sous forme de fraction irréductible les expressions suivantes :

\[\dfrac{10}{21} - \dfrac57 + \dfrac{13}{3}\:; \qquad  \dfrac{16}{21} \times \dfrac{21}{14}\times \dfrac{18}{63}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire le plus simplement possible l'expression suivante en donnant le résultat sous la forme du produit d'un entier par une racine carrée :

\[3\sqrt{98} - 4\sqrt{18} + 3\sqrt 8.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel, on pose

\[E= 16x^2 - 25 - (4x - 5)(3x -4).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Écrire $E$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Pour la période de mai 1986 à octobre 1986, le montant d'une facture E. D. F. d'un total de \np{1800}~F se décompose ainsi :

\begin{itemize}
\item le montant de la consommation électrique : $675$~F;
\item l'abonnement fixe : $775$~F;
\item la T. V. A. (18,6\,\% sur la somme des deux montant précédents, arrondi au franc supérieur) : $270$~F ;
\item les taxes locales : $80$~F.
\end{itemize}

On souhaite faire une représentation \og par secteur circulaires \fg{} des données précédentes en dessinant, dans un cercle de centre O, quatre angles au centre de sommet O dont les mesures sont proportionnelles aux quatre éléments de la facture (consommation, abonnement fixe, T. V. A., taxe locales).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter les phrases suivantes :
\begin{itemize}
\item Le montant de la consommation électrique est représenté par un angle de :\ldots degrés
\item L'abonnement est représenté par un angle de : \ldots degrés 
\item Les taxes locales sont représentée par un angle de : \ldots degrés.:
\end{itemize}

(On ne demande pas le détail des calculs.)
\item Faire la représentation sur le cercle dessiné ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\pscircle(0,0){2.2}
\uput[l](0,0){O}
\psline(2.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère \Oij{} dessiné ci-dessous, on considère les points 

\begin{center}A(2~;~5),\qquad  B(8~;~3),\qquad  C(5~;~7).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-3)(12,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,xsubticks=2,ysubticks=2]{->}(0,0)(-3,-3)(12,8)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[u](11.5,0){$x$}\uput[r](0,7.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Construire, en utilisant le compas, le point D tel que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{AB}}+ \vect{\text{AC}}$ (les traits de construction doivent figurer sur
le dessin).
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}}= - \dfrac32\vect{\text{AC}}$ (les traits de construction doivent figurer sur le dessin).
\item Soit F le point de coordonnées (4~;~2). Calculer le coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AF}}$ et vérifier que ces vecteurs
ont des directions orthogonales.
\item Démontrer que les droites (AD) et (EF) sont parallèles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous représente un parallélépipède rectangle (appelé aussi pavé) dont la longueur mesure 6 cm, la hauteur 4 cm et la largeur 4 cm. 

I, J, K sont les milieux respectifs de [AB], [BB$'$] et [BC].

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psframe(1,0.6)(5.4,3.1)
\psline(5.4,0.6)(6.5,1.7)(6.5,4.2)(5.4,3.1)%CC'B'B
\psline(6.5,4.2)(2.1,4.2)(1,3.1)%B'A'A
\pspolygon(3.2,3.1)(5.95,3.65)(5.4,1.85)%IJK
\psline[linestyle=dashed](1,0.6)(2.1,1.7)(6.5,1.7)
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.7)(2.1,4.2)
\uput[ul](1,3.1){A} \uput[dl](5.4,3.1){B} \uput[dl](5.4,0.6){C} \uput[dl](1,0.6){D}
\uput[u](2.1,4.2){A$'$} \uput[u](6.5,4.2){B$'$} \uput[ur](6.5,1.7){C$'$} \uput[ul](2.1,1.7){D$'$}
\uput[u](3.2,3.1){I} \uput[r](5.95,3.65){J} \uput[r](5.4,1.85){K}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,0)(5.4,0)\uput[u](3.2,0){6 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.7,0.6)(6.8,1.7)\rput{45}(6.4,1.15){4 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,0.6)(0.4,3.1)\rput{90}(0.1,1.85){4 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer (en justifiant brièvement les calculs) la valeur exacte des longueurs IK, U, JK.
\item Quelle est la nature du triangle UK?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\emph{Construction de la figure}

\medskip

\begin{itemize}
\item Construire un triangle équilatéral ABC de côté $8$~cm.
\item Placer le point D, symétrique de B par rapport à la droite
(AC).
\item Placer le point H, projection orthogonale de D sur la droite
(AB).
\item Placer le point E sur le segment [DC), sachant que DE = DH.
\item Placer le point I, intersection des droites (HE) et (AD).
\end{itemize}

\medskip

\emph{Questions}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 

Que représente la droite (BD) pour les angles $\widehat{\text{ABC}}$  et $\widehat{\text{ADC}}$ ?

En déduire la mesure, en degrés, des angles $\widehat{\text{ABC}}$  et $\widehat{\text{ADC}}$.

Démontrer que la droite (AD) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{HDB}}$.
\item Démontrer que le triangle HDE est isocèle rectangle. 

En déduire que la droite (HE) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BHD}}$. 

Que représente la droite (BI) pour l'angle $\widehat{\text{DBH}}$ ?

(On rappelle que les trois bissectrices des angles d'un triangle
sont concourantes.)
\item On donne $\sin 30\degres = \dfrac12$ et $\cos 30\degres = \dfrac{\sqrt 3}{2}$.

Calculer la longueur HD.
\end{enumerate}
\end{document}