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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression

\[y = \dfrac{\dfrac{a - x}{ a + x} - \dfrac{a + x}{ a - x}}{\dfrac{a - x}{ a + x} + 1}.\]

\item Calculer $x$ de façon que $y = a$.
\item \emph{Application numérique} du 2. pour $a = \sqrt 3$
 et pour $a= - \sqrt 3$.

Donner des résultats sans dénominateur.
\item Que se passe-t-il si $a = 2$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Sur un segment [BC] de longueur $4a$ on prend le point A tel que BA $= 3a$.

On trace les demi-droites B$x$ et C$y$ perpendiculaires à (BC) et du même côté de (BC).

On considère un angle droit de sommet A  tournant autour de A dont un côté rencontre B$x$ en M et l'autre côté rencontre C$y$ en N.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(2.6,2.5)
%\psgrid
\psline(0.2,2.4)(0.2,0.2)(2.4,0.2)(2.4,2.4)%xBCy
\psline(0.2,1.4)(1.85,0.2)(2.4,0.9)(0.2,1.4)(2,1)(1.85,0.2)
\uput[d](1.85,0.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](2.4,0.2){C} \uput[l](0.2,1.4){M}
\uput[r](2.4,0.9){N} \uput[ur](2,1){P} \uput[l](0.2,2.4){$x$} \uput[r](2.4,2.4){$y$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles MBA et ACN sont semblables.
\item Démontrer que 
\begin{center}BM  $\cdot$ CN $= 3a2$.\end{center}
\item De A on abaisse (AP) perpendiculaire à (MN), qui rencontre MN en P{}.

Montrer que les quadrilatères APNC et APMB sont inscriptibles.
\item Déduire que l'angle $\widehat{\text{BPC}}$ est droit et trouver le lieu de P quand l'angle droit MAN tourne autour de A.
\end{enumerate}
\end{document}