\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Allemagne juin 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Allemagne}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Allemagne juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression

\[E = (3x + 1)^2 - (3 - 2x)^2 - 2(x + 4).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $E$ sous la forme d'un polynôme ordonné et calculer les valeurs numériques prises par $E$ quand on donne à $x$ les valeurs 1,\:- 4,\:$- 3$ et $\left(\sqrt 2 + \dfrac45\right)$.

(On calculera cette dernière valeur à $\dfrac{1}{10}$ près par défaut.)
\item Écrire $E$ sous la forme $E = y_1y_2$, produit de deux facteurs du premier degré en $x$.

Résoudre l'équation $E = 0$.
\item Étudier la variation de chacune des fonctions $y_1$ et $y_2$ et en établir le graphique dans le même système d'axes.

Déterminer (par le calcul) les coordonnées du point commun, A, aux deux droites obtenues.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

ABCD est un trapèze rectangle en A et D.

AB $= 6$ cm \quad;\quad AD = 8 cm \quad;\quad DC = 10 cm.

On désigne par H la projection de B sur (DC) et par I le milieu de [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC et BD et montrer que le triangle DBC est isocèle.
\item Montrer que les cinq points A, B, I, H, D sont situés sur un même cercle.
\item Démontrer que [AI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAH}}$.
\item (AI) coupe (BH) en K.

Calculer KB et KH.
\end{enumerate}
\end{document}