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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On pose
\[y = \dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6} - \dfrac{x(2x - 2)(2x - 1)}{12}.\]

Simplifier cette expression et déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $y = \np{7396}$.

\item Simplifier l'expression 
\[z = \dfrac{x^3 + x^2}{x^2 + 5x} - \dfrac{x^3 - 5x^2}{x^3 - 25x}.\]

Vérifier que $\dfrac yz = x + 5$.
\item On pose $Y  = - \dfrac{2y}{z}$ ; calculer $Y$ en fonction de $x$.

En tracer le graphe et déterminer les coordonnées du point A d'intersection de cette ligne et de la droite d'équation $y = 4x + 5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$, construire deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment de droite [CD] en M et le cercle en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AOM et ANB son semblables.
Déduire de leur similitude que, quelle que soit la position de M sur [CD], le produit AM $\cdot$ AN est constant.

Préciser sa valeur.
\item Démontrer que le quadrilatère OBNM est inscriptible dans un cercle, dont on déterminera le centre, I.
\item Dans le cas où BN $= R$, calculer AN, AM, OM et MN.
\item On suppose que le point M décrit le segment [CD].
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles positions de M la longueur du segment [AM] est-elle maximale ?
		
		Donner alors  la mesure et la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$.
		\item Pour quelle position de M la longueur du segment
[AM] est-elle minimale ?

Donner également sa mesure et la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$.
		\item Sur quelle droite fixe remarquable se déplace le point I lorsque le point M décrit Je diamètre [CD] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}