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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lfoot{\small{Allemagne}}
\rfoot{\small{juin 1972}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Allemagne juin 1972~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques modernes}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère les deux applications, de \R dans \R, définies par 

\[\begin{array}{l c l}
f  : x & \longmapsto& f(x) = (2x - 3)(7 - 2) - (2x - 3)^2 \:\text{et}\\
g  : x & \longmapsto& g(x) =4x^2 - 9.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs
\item Soit $E = \{x \in \R,\:~f(x) = 0\}$.
Écrire cet ensemble, E en extension.
\item Soit l'application $q$, de \R$- E$  dans \R, définie par 

\[q : x \longmapsto q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\]

En utilisant les résultats de la la première question, 
mettre $q(x)$ sous la forme d'un rapport dont les termes sont deux binômes du premier degré.
\item Résoudre dans \R$- E$ l'équation $q(x) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit deux droites $(d)$ et $(d')$ d'un plan. À l'aide d'une unité de longueur choisie dans ce plan, on définit sur $(d)$ une graduation, $f$, telle que

\[f(\text{I}) = 0 \quad \text{et}\quad  f(\text{A}) = 1,\]

puis sur $(d')$ une graduation, $g$, telle que

\[g\left(\text{I}'\right) = 0 \quad \text{et}\quad g\left(\text{A}'\right) = - 0,5,\]

I$'$ et A$'$ étant respectivement les projections orthogonales de I et de A sur $(d')$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner, avec précision, une figure illustrant la situation mathématique décrite ci-dessus. Construire, en outre, le point J de $(d')$ tel que $g(\text{J}) = 1$.
\item Soit B le point de $(d)$,tel que $f(\text{B}) = 3$, et B$'$ le point de $(d')$, tel que $g(\text{B}') = (- 1,5)$.

Démontrer que la projection orthogonale de B sur $(d')$ est B$'$.
\item Quel est le rapport de projection orthogonale de
l'axe $\left(d, \vect{\text{IA}}\right)$ sur l'axe $\left(d', \vect{\text{I}'\text{J}}\right)$ ?

Le comparer à celui de $\left(d', \vect{\text{I}'\text{J}}\right)$ sur $\left(d, \vect{\text{IA}}\right)$.
\item Soit A$''$ et B$''$ les projections orthogonales de A$'$
et de B$'$ sur $(d)$. Calculer A$''$B$''$.
\item Si l'on suppose que les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent en un point $S$, d'abscisse $(- 0,75)$ dans la graduation $f$, quelle est l'abscisse de $S$ dans la graduation $g$ ?
\end{enumerate}
\end{document}