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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Allemagne}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Allemagne juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On donne les fonctions $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[\begin{array}{l l c l}
f : &x&\longmapsto&f(x) = 9(3x - 1)^2 - (x - 2)^2\\
g : &x&\longmapsto&g(x) = 64x^2 - 16x + 1
\end{array}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par :
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D }_h$ de $h$. 

Simplifier $h(x)$.
\item On donne la fonction rationnelle $H(x) = \dfrac{5(2x - 1)}{8x - 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H(-2)$ et $H\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)$.
		
Donner le dernier résultat sous forme d'un quotient ayant un dénominateur rationnel.
		\item Sachant que $1,73 < \sqrt 3 < 1,74$, donner un encadrement
décimal du réel $H\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)$ à $10^{-2}$ près.
		\item Dans $\D$, résoudre l'équation
\[H(x) = - \dfrac34.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Le plan étant muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points

\begin{center}A$(-1~;~5)$\qquad et \qquad B$(4~;~-2)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les composantes du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Calculer la distance AB.
		\item Calculer les coordonnées du milieu I du bipoint (A, B).
	\end{enumerate}
\item Construire le point P tel que $\vect{\text{AP}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OI}}$.
	
Montrer que les points O, I, P sont alignés et calculer les coordonnées de P{}.
\item Donner une équation de la droite (AB).

La droite (AB) couple le premier axe de coordonnées $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$
 en C , et le deuxième axe de coordonnées $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$ en D.

Calculer les coordonnées des points C et D.
\item Soit H la projection orthogonale de l'origine O sur la droite (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Trouver une équation de la droite (OH)
		\item Calculer les coordonnées de H .
		\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ODC}}$.
		\item Donner l'écart angulaire de cet angle à un degré près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}