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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + \dfrac y3 +  \dfrac z5&=&0,\\
\phantom{2x +}2y + z &=&2,\\
x + \dfrac y6 &=&1.
\end{array}\right.\]

\item Simplifier l'expression

\[y = \dfrac{2 +\dfrac 3x}{\dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{3}{x^2 - x}}.\]

Construire la courbe représentant la fonction $y$.

Déterminer les coordonnées de l'intersection de cette courbe avec la droite d'équation $x = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne dans l'ordre, sur une droite $D$, trois points fixes A, H, B tels que AH $= 2$HB $= 2a$ ($a$ est une longueur donnée).

On élève en B la perpendiculaire $xy$ à la droite $D$.

Un point M variable décrit la demi-droite fixe B$x$ ; la perpendiculaire abaissée de H sur
AM coupe AM en M$'$ et $xy$ en N ;  la droite (MH) coupe (AN) en N$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le rôle du point H dans le triangle AMN ?

En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{AN}'\text{H}}$.

Sur quelles lignes se trouvent les points M$'$et N$'$ ?

Construire ces lignes.
\item Quelle est la particularité des quadrilatères
HBMM$'$, HBNN$'$ et MNN$'$M$'$ ?

Montrer que l'on a 
\[\overline{\text{AM}} \cdot \overline{\text{AM}'} = \overline{\text{AN}} \cdot \overline{\text{AN}'}.\]

Comparer les triangles AM$'$H et ABM et calculer
en fonction de $a$ la valeur commune des produits ci-dessus.
\item Construire la figure dans le cas où HM$' = a$.

Calculer alors les angles de la figure, puis les longueurs AM$'$, AM, HM, MB en fonction de $a$.

Préciser la forme particulière prise par le triangle AMN et calculer son aire.
\end{enumerate}
\end{document}