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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Allemagne}
\lfoot{\small juin 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Allemagne juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression $A = (x+5)2 -(x+5)(2x+1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser l'expression A.
\item Résoudre l'équation ( x + 5)(- x + 4) = 0.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation 7x > 8 x - 3, puis représenter les solutions sur une droite graduée.
\item Résoudre l'inéquation $-3 x + 1 > -5 x - 2$, puis représenter les solutions sur une droite graduée.
\item Représenter sur une droite graduée les solutions du système :$\left\{\begin{array}{l c l}
7x&>&8x - 3\\
- 3x + 1 &>& - 5x - 2
\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que faut-il ajouter à 37 pour obtenir 2 ?
\item Que faut-il ajouter à 12 + 14 + 16 pour obtenir 1 ?
\item À un nombre j'ajoute 7 ; je multiplie le résultat obtenu par $\dfrac{3}{11}$ et
 j'obtiens 1. Quel est ce nombre ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Les arbres d'un hectare de forêt du Massif Central sont répartis en cinq espèces. Le schéma semi-circulaire ci-dessous est une représentation de cette répartition.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-5.2,0)(5.2,5.2)
\psarc(0,0){5.2}{0}{180}
\pswedge(0,0){5.2}{0}{9}\rput(3.4;4.5){châtaigniers}
\pswedge(0,0){5.2}{9}{27}\rput(3.4;18){frênes}\rput(2;18){$18\degres$}
\pswedge(0,0){5.2}{27}{63}\rput(3.4;45){hêtres}
\pswedge(0,0){5.2}{63}{108}\rput(3.4;85.5){pins}
\pswedge(0,0){5.2}{108}{180}\rput(3.4;144){sapins}\rput(2;144){$72\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Exemple} : On a compté 30 frênes. Ils sont représentés sur le schéma par un secteur angulaire de $18\degres$.

Voici le tableau qui a permis cette représentation. Il est incomplet. On demande de le reproduire et de le compléter entièrement.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Espèces&Nombre d'arbres&Angle du secteur\\ \hline
Sapins&&$72\degres$\\ \hline
Pins&75&\\ \hline
Frênes&30&$18\degres$\\ \hline
Hêtres&&\\ \hline
Châtaigniers&15&\\ \hline
\textbf{Total}&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un triangle A'B'C' rectangle en A' et d'aire 27 cm$^2$
est un agrandissement d'un triangle ABC rectangle en A et tel que AB = 3 cm et AC = 2 cm.

Calculez les longueurs A$'$B$'$ et A$'$C$'$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le dessin ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. 

Les droites (NM) et (FG) sont parallèles.

On donne les longueurs suivantes :

\begin{center}EM $= 2$ ;\quad MN $= 4$ ;\quad  NG $= 7$ ;\quad  FG $= 12$.

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10.4,6.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(10.2,0.2)(3.4,5.7)%FGE
\psline(2.2,3.6)(6,3.6)%MN
\uput[u](3.4,5.7){E} \uput[dl](0.2,0.2){F} \uput[dr](10.2,0.2){G}
\uput[l](2.2,3.6){M} \uput[r](6,3.6){N} \uput[ul](2.8,4.65){2,5}
\uput[ur](8.1,1.9){7} \uput[d](4.1,3.6){4} \uput[d](5.2,0.2){12}
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer les longueurs MF et EN.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}

La figure représente un parallélépipède rectangle. (On ne demande pas de la reproduire.)

On donne : AB $= 3$ cm ; BC $= 7$ cm ; AE $= 5$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le triangle rectangle ACD, calculer la longueur exacte de [AC].
\item En utilisant le triangle rectangle ACG, calculer la longueur exacte de [AG].
\item On s'intéresse à la pyramide de base DCGH, de sommet A, de hauteur AD. Quel est son volume ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7.6,5.4)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(4.9,3.2)%FHDA
\psline(4.9,0.2)(7,2)(7,5)(4.9,3.2)%HGCD
\psline(7,5)(2.3,5)(0.2,3.2)%CBA
\psline(4.9,0.2)(0.2,3.2)(7,5)%HAC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2.3,2)(7,2)(0.2,3.2)%EFGA
\psline[linestyle=dashed](2.3,2)(2.3,5)%FB
\uput[l](0.2,3.2){A} \uput[u](2.3,5){B} \uput[u](7,5){C} \uput[u](4.9,3.2){D}
\uput[d](0.2,0.2){E} \uput[ur](2.3,2){F} \uput[r](7,2){G} \uput[d](4.9,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal d'origine O. Choisir le centimètre comme unité de longueur sur chaque axe. (Utiliser une feuille de papier millimétré.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans un repère le point A(5~;~8), puis déterminer l'équation de la droite (OA).
\item Le point B(5~;~0) est le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses. 

Quelle est l'équation de la droite (AB) ?
\item Soit $(d)$ la droite d'équation $y = \dfrac45 x + 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul que A est un point de la droite $(d)$.
		\item Soit C le point d'intersection de la droite $(d)$ avec l'axe des abscisses.
Calculer les coordonnées du point C. 
		\item Tracer la droite $(d)$.
	\end{enumerate}	
\item La perpendiculaire à la droite $(d)$, passant par le point B, coupe la droite $(d)$ au point~K.

Déterminer l'équation de la droite (BK).
\end{enumerate}
\end{document}