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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Amérique du Nord~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

On donne

\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x - 3)^2 - (x + 2)^2\\
B(x)&=& \left(x^2- x\right) - (5x- 5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

\item Soit $F(x)$ la fraction simplifiée.

Calculer la valeur numérique de $F(x)$ pour
	\begin{enumerate}
		\item $x = \dfrac{1}{3}$
		\item $x = \sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F(x) =1$ ?
\item Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions

\[y = 3x - 1\qquad  y = x - 1.\]

Utiliser cette représentation pour résoudre graphiquement la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

On donne un triangle équilatéral ABC de côté $a$. On prolonge le côté [AB] d'une longueur BD $= a$ et le côté [BC] d'une longueur CE $= a$.

On joint D à E. Enfin, le prolongement de [DC] coupe (AE) en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABE ?

Calculer, en fonction de $a$, la mesure des segments [AE] et [DE].
\item Calculer la valeur des angles $\widehat{\text{PCE}}$ et $\widehat{\text{PEC}}$.

Démontrer la similitude des triangles PCE et ACE.

Montrer que EC est moyenne proportionnelle entre AE et PE.

En déduire la mesure PE.
\item La parallèle menée par P à (BE) coupe (AC) en Q.

Calculer la valeur du rapport $\dfrac{\text{CQ}}{\text{CA}}$.

Que représente le point Q pour le triangle ABE ?
\item (BQ) coupe (AE) en M. Prouver que (BM) est parallèle à (DE).
\item Démontrer que le quadrilatère BPED est inscriptible dans un cercle.
\end{enumerate}
\end{document}