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%Tapuscrit : Denis Vergès & Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small 4 juin 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet Amérique du Nord~\decofourright\\[7pt] 4 juin 2025}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 :\hfill 20 points}

\emph{Dans cet exercice, les cinq situations sont indépendantes. Il est rappelé que chaque réponse doit être justifiée sauf indication contraire.}

\medskip
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item \textbf{Situation 1}

Dans une urne de $40$ boules indiscernables au toucher, $5$ sont rouges, $20$ sont vertes et $15$ sont blanches. L'expérience consiste à tirer au hasard une boule de l'urne et à noter sa couleur.

\smallskip

Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte.
\item \textbf{Situation 2}

Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre \np{1050}.

\emph{Aucune justification n'est attendue}.
\item \textbf{Situation 3}

Un article coûte $25$~\euro. Calculer son prix après une augmentation de $14\,\%$.
\item \textbf{Situation 4}

\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.

Le coefficient de cet agrandissement est $2,5$.

L'aire du polygone 1 est égale à $7,5$~cm$^2$.

Calculer l'aire du polygone 2.&\emph{La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle}.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,4)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,2)(1,3)(0,2)
\pspolygon(4.7,0.7)(5.7,0.7)(5.7,1.4)(5.1,1.7)(4.7,1.4)
\rput(1.5,-1){Polygone 2}\rput(5.2,-1){Polygone 1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{tabularx}
\item \textbf{Situation 5}

\medskip

Dans une classe de 3\up{e} on note la répartition des tailles des élèves dans le tableau suivant:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Taille (en cm)}&152&157& 160& 162& 165&170& 174& 180\\ \hline
\textbf{ Effectif}& 2& 4& 2& 5& 2&4&6&5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la moyenne des tailles des élèves de cette classe ?
\item Quelle est la médiane des tailles des élèves de cette classe ?
\end{enumerate}
\end{itemize}

\newpage

\section*{Exercice 2 : \hfill 20 points}

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur}.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3.4)(10,4.5)
\pspolygon(0,0)(9,0)(9,-2.7)(0,4)%EBCD
\psline(0,4)(2.3,0)%DM
\psframe(0.4,0.4)\psframe(9,0)(8.6,-0.4)
\psarc(2.3,0){0.6}{120}{180}
\uput[ur](5.3,0){A}\uput[u](9,0){B}\uput[d](9,-2.7){C}
\uput[u](0,4){D}\uput[d](0,0){E}\uput[d](2.3,0){M}
\uput[r](9,-1.35){30 m}\uput[dl](7.2,-1.6){50 m}\uput[ur](2.6,2.1){70 m}
\rput(1.3,0.5){$60\,\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

On a les données suivantes:

\medskip

\begin{itemize}[label= \small $\bullet~~$]
\item Les points A, B, E et M sont alignés
\item Les points A, C et D sont alignés
\item ADE est un triangle rectangle en E
\item ABC est un triangle rectangle en B
\item AD $= 70$ m
\item BC $= 30$ m
\item AC $= 50$ m 
\item $\widehat{\text{DME}} = 60\degres$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AB.
\item Montrer que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
\item Montrer que la longueur DE est égale à $42$~m.
\item Montrer que la longueur EM est environ égale à $24,2$~m.
\item En déduire l'aire du triangle AMD.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 : \hfill 20 points}

On considère les deux programmes de calcul suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{6.cm}|X}
\textbf{Programme A}&\textbf{Programme B}\\
\begin{itemize}[label= $\bullet~~$]
\item Choisir un nombre
\item Multiplier par 3
\item Ajouter 15
\item Diviser par 3
\item Soustraire le nombre de départ
\end{itemize}&\psset{unit=0.825cm,arrowsize=2pt 3}
\vspace*{-2cm}
\begin{pspicture}(-4,0)(4,6)
\footnotesize
\rput(0,5){Choisir un nombre}\psframe(-1.9,5.4)(1.9,4.6)
\psline{->}(-1.9,5)(-2.6,5)(-2.6,4.1)
\rput(-2.6,3.7){Soustraire 1}\psframe(-3.8,4.1)(-1.4,3.3)\psline{->}(1.9,5)(2.6,5)(2.6,4.1)
\rput(2.6,3.7){Soustraire 6}\psframe(1.4,4.1)(3.8,3.3)
\psline{->}(-1.4,3.7)(-0.6,3.7)(-0.6,2.3)\psline{->}(1.4,3.7)(0.6,3.7)(0.6,2.3)
\rput(0,1.9){Multiplier les deux résultats obtenus}\psframe(-3.3,2.3)(3.3,1.5)
\psline{->}(0,1.5)(0,0.8)
\rput(0,0.5){Ajouter 5}\psframe(-1,0.8)(1,0.2)
%\psframe
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
\item Montrer que, lorsque le nombre choisi est $- 2$, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
\item Justifier que l'affirmation suivante est vraie :

\begin{center}\og Le programme A donne toujours le même résultat. \fg\end{center}

\item Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?
\item Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent à chaque fois des résultats identiques.

Quels sont ces deux nombres?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 : \hfill 20 points}

À l'approche d'une course organisée par son collège, Malo s'entraîne sur un parcours de $13,5$~km.

La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par Malo (en kilomètres) en fonction du temps écoulé (en minutes).

\begin{center}
\psset{xunit=0.125cm,yunit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-1)(95,16)
{\psset{linecolor=gray}
\multido{\n=0+5}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,16)}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(95,\n)}
\multido{\n=0.5+1.0}{16}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(95,\n)}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(95,16)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=magenta](0,0)(10,2)(20,4.5)(30,6.5)(40,6.5)(50,9)(60,11)(80,13.5)
\uput[u](84,0){Temps (en min)}\uput[r](0,15.75){Distance (en km)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le temps et la distance parcourue par Malo sont-ils proportionnels ?
\item Quelle distance Malo a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?

Aucune justification n'est attendue.
\item Combien de temps a-t-il mis pour faire les 9 premiers kilomètres ?

Aucune justification n'est attendue.
\item Quelle est la vitesse moyenne de Malo lors de cette course? Exprimer le résultat au dixième de km/h près.
\item Louise et Hillal ont couru sur le même parcours de $13,5$ km. Louise à une vitesse régulière égale à $12$~km/h et Hillal a une vitesse régulière égale à $10$ km/h
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que Louise et Hillal sont partis en même temps, qui a été le premier à
franchir la ligne d'arrivée?
		\item Quelle distance sépare Louise et Hillal, lorsque le premier des deux franchit la ligne d'arrivée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 5 : \hfill 20 points}

\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue}

\medskip

\textbf{Partie 1 : les motifs}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Script 1&Script 2&Script 3\\ \hline
&&\\
\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif 1}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalvariable{30} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif 2}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalvariable{30} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif 3}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalvariable{30} pas}
\blocklook{Partie du script effacée}
\blocklook{(voir question 2)}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}\\ 
&&\\ \hline
\end{tabularx}
\rput(4.9,2.5){
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](-0.5,0)(1.6,0.8)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](0.5,0)(1.6,0.8)}
\rput(4.9,2.5){
\parbox{3cm}{\centering{}Partie du\\script effacée\\(voir question 2)}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les scripts 1 et 2 permettent chacun d'obtenir un des dessins ci-dessous. Associer chacun des scripts à son dessin.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Dessin 1&Dessin 2\\ \hline
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.3)
\pspolygon(1.5;0)(1.5;60)(1.5;120)(1.5;180)(1.5;240)(1.5;300)
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1)(1.8,1.8)
\pspolygon(1.4;-30)(1.4;90)(1.4;210)
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\item Le script 3 permet d'obtenir le losange ci-contre.

La partie du script effacée contient les 3 instructions A, B et C ci-dessous.

Sur votre copie, recopier dans le bon ordre les instructions cachées.
%\end{enumerate}
\textbf{Chaque instruction ne doit être utilisée qu'une seule fois.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-1)(5.5,3.5)
\pspolygon(2,0)(5.2,0)(3.6,2.77)(0.4,2.77)
\psarc(5.2,0){0.4}{120}{180}\psarc(2,0){0.4}{0}{120}
\rput(0,0){Départ}\uput[d](3.6,0){30 pas} \uput[ur](4.4,1.38){30 pas}
\rput(4.5,0.4){$60\degres$}\rput(2.8,0.4){$120\degres$}
\psline{->}(0.7,0)(2,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Instruction A &Instruction B& Instruction C\\
 \hline
 &&\\
\begin{scratch}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
\end{scratch}\\
&&\\
 \hline
\end{tabular}
%\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie 2 : le script principal}
%\setdefaultscratch{scale=0.8}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{7.55cm}|}
\begin{tabular}{m{5cm} m{7.55cm}}
%\hline
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{- 200} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{effacer tout}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{Motif} à nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{3}}
\blockifelse{si \booloperator{\ovalmove{Motif} = \ovalnum{3}} alors}
{\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
	{
\blocklook{Motif 3}
\blockmove{avancer de \ovalnum{60} pas}
	}
\blocklook{dire \ovalnum{Voici le dessin !}}
}
{%\blocklook{sinon}
\blocklook{dire \ovalnum{Perdu !}}}
\end{scratch}
&\vspace*{12cm}
\begin{tabular}{|c|}
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
%\multicolumn{1}{c}{~}\\
\hline

Rappels\\ 
\hline
\\
\begin{scratch}[scale=1]
%\blockmoreblocks{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{3}}
\blockvariable{nombre aléatoire entre \ovalnum{1} et \ovalnum{3}}
\end{scratch}\\
{\small donne un nombre entier au hasard parmi 1 ; 2 et 3.}\\ 
\\
\hline
\\
\begin{scratch}[scale=1]
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\end{scratch}\\
{\small oriente le lutin horizontalement vers la droite.}\\ 
\\
\hline
\end{tabular}\\ 
%\hline
\end{tabular}
%\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}[start=3]
\item Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?
\item Parmi les 5 captures d'écran proposées ci-dessous, seules deux sont possibles. Lesquelles?

\begin{center}
\small
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}
\begin{tabular}{|l|m{9.7cm}|}
\hline
Capture d'écran \no 1&\psset{unit=0.8cm}
\def\losan{\pspolygon(0,0)(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,1.5)
\multido{\n=0+1}{6}{\rput(\n,0){\losan}}
\rput(2.5,1.25){Voici le dessin !}
\end{pspicture}
\\ \hline
Capture d'écran \no 2&\psset{unit=0.8cm}
\def\losan{\pspolygon(0,0)(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,1.5)
\multido{\n=0+2}{6}{\rput(\n,0){\losan}}
\rput(2.5,1.25){Voici le dessin !}
\end{pspicture}
\\ \hline
Capture d'écran \no 3&\psset{unit=0.8cm}
\def\losan{\pspolygon(0,0)(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,1.5)
%\multido{\n=0+1}{5}{\rput(\n,0){\losan}}
\rput(2.5,1.25){Perdu !}
\end{pspicture}
\\ \hline
Capture d'écran \no 4&\psset{unit=0.8cm}
\def\losan{\pspolygon(0,0)(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,1.5)
\multido{\n=0+2}{3}{\rput(\n,0){\losan}}
\rput(2.5,1.25){Voici le dessin !}
\end{pspicture}
\\ \hline
Capture d'écran \no 5&\psset{unit=0.8cm}
\def\losan{\pspolygon(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)(0,0)}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(4,2)
\rput(4.5,0){Voici le dessin !}
\multido{\n=-60+60,\na=0+60}{6}{\rput{\n}(1.;\na){\losan}}
\end{pspicture}
\\ \hline
\end{tabular}
%\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\item On clique sur le drapeau vert, et on observe le message affiché.

Quelle est la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin! » ?
\item On lance de nouveau le programme 100 fois et on regroupe les résultats obtenus dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Message du lutin&« Voici le dessin! »& « Perdu! »\\ \hline
Effectif&40&60\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fréquence de l'affichage « Voici le dessin! ».
		\item Pourquoi ce résultat est-il différent de celui obtenu à la question 5 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}