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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes définies sur $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &= &9x^2 - 4\\
g(x) &=&2(3x +2)(x +2)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right);\: g\left(\dfrac23\right)$ et $f\left(-\dfrac23\right)$.
\item Écrire $f(x) - g(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item On considère la fonction $h$ de $\R$ vers $\R$ telle que
\[h(x) = \dfrac{g(x)}{x^2 + 4x + 4}.\]

Déterminer $\mathcal{D}$ ,ensemble de définition de $h$, puis simplifier $h$ dans $\mathcal{D}$.
\item Calculer $h\left(\sqrt 5\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère \Oij{} orthonormé, on considère les points A, B et C tels que
\[\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} +4\vect{\jmath}, \qquad \vect{\text{OB}} = 8\vect{\imath} - 6\vect{\jmath}, \qquad\vect{\text{OC}} = - 2\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, C), $d$(B, C) et $d$(A, B).
\item Montrer que A, B et C sont les sommets d'un triangle rectangle.
\item Soit D le point tel que $\vect{\text{OD}} =-5\vect{\imath} +8\vect{\jmath}$.

Montrer que (A, D, C, B) est un parallélogramme.
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre C, de rayon CA.

Montrer que la droite (AD) est tangente à ce cercle en A.
\item Calculer le cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Madame X a acheté 3 paquets de café et 4 kg de pommes.

Le montant de ses achats s'élève à 46~F{}.

-- Si j'avais acheté 5 paquets de café et 2 kg de pommes, dit-elle à son mari
j'aurais payé $57,30$~F{}.

Quel est le prix d'un paquet de café et celui d'un kilogramme de pommes ?
\end{document}