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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère l'application $f$ définie dans $\R$ par 

\[f(x) = (4x - 1)^2-3(1 - 4x) + 16x^2 - 1.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteur du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $f(x) = 0$.
\item Calculer $f\left( - \sqrt 2\right)$.
\item Sachant que $1,41 < \sqrt 2 < 1,42$, donner un encadrement de $f\left( - \sqrt 2\right)$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points

\begin{center}A$(-6~;~-1)$,\qquad B(6~;~5), \qquad C$(10~;~-3)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en prenant pour unité le centimètre.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer les coordonnées des points E et F, milieux respectifs des segments [A, B] et [C, B].
\item Soit $D$ la parallèle à (BC) passant par E.

Déterminer une équation de la droite $(D)$.
\item Déterminer une équation de la droite (AC).
\item Soit 1 le point d'intersection des droites $(D)$ et (AC).

Calculer les coordonnées de I.
\item Montrer que I est le milieu de [A, C].

En déduire que les droites (IF) et (AB) sont parallèles.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (E, B, F, I) ?
\end{enumerate}
\end{document}