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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Amérique du Nord }}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Amérique du Nord
  juin 2001~\decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,15cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer A et B et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\[\text{A} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{15} \qquad \text{B} =  \dfrac{ 5 \times 10^2 \times 0,3 \times 10^{- 6}}{ 25 \times 10^{- 5}}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

Calculer la valeur exacte de l'aire du carré ABCD et de l'aire du rectangle AEFD ci-dessous sachant que : AB $= \sqrt{3} - 1$  et BE $= 2$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)
\psframe(0.5,0.5)(5.5,3.5)
\psline(3.5,0.5)(3.5,3.5)
\def\barbar{\psline(-0.05,-0.1)(0.05,0.1)\psline(0,-0.1)(0.1,0.1)}
\rput(2,0.5){\barbar}\rput(2,3.5){\barbar}
\rput{-90}(0.5,2){\barbar}\rput{-90}(3.5,2){\barbar}
\uput[ul](0.5,3.5){A} \uput[u](3.5,3.5){B} \uput[d](3.5,0.5){C} 
\uput[dl](0.5,0.5){D} \uput[ur](5.5,3.5){E} \uput[dr](5.5,0.5){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip 

On considère l'expression : 

\[A = (2x + 1)^2 - (x - 5)(2x + 1). \]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$. 
\item Factoriser $A$. 
\item Résoudre l'équation : $(2x + 1)(x + 6) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4} 

\medskip 

Voici le diagramme en bâtons représentant la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par une classe de 3\up{e}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20](0,0)(9.1,7.9)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(9,\n)}
\uput[l](0,7.8){Effectifs} 
\uput[r](9,0){Notes}
\multido{\n=8+1,\na=1+1}{9}{\uput[d](\na,0){\n}}
\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,3)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,5)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,2)
\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,4)
\psline[linewidth=2pt](6,0)(6,2)
\psline[linewidth=2pt](7,0)(7,7)
\psline[linewidth=2pt](9,0)(9,2)
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne de la classe à ce devoir. 
\item Quelle est l'étendue de cette série de notes ? 
\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant obtenu une note supérieure à 10. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

On considère la figure ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm} 
\begin{pspicture}(9,4.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.4,0.4)(8.4,0.4)(3.3,4.2)%MNL
\psline(3.3,4.2)(3.3,0.4)%LK
\psline(6.3,0.4)(7.1,1.4)%SR
\psframe(3.3,0.4)(3.6,0.7)
\rput{-34}(7.08,1.4){\psframe(0,0)(0.3,-0.3)}
\uput[dl](0.4,0.4){M} \uput[u](3.3,4.2){L} \uput[d](3.3,0.4){K} 
\uput[d](6.3,0.4){S} \uput[ur](7.1,1.4){R} \uput[d](8.4,0.4){N} 
\end{pspicture}
\end{center}

On donne MN = 8~cm ; ML = 4,8~cm et LN = 6,4~cm. 

\emph{On ne demande pas de refaire la figure sur la copie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle LMN est rectangle. 
\item Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{LNM}}$. 
\item Soit K le pied de la hauteur issue de L. 

Montrer que LK = 3,84 cm. 
\item Soit S le point de [MN] tel que NS = 2~cm, la perpendiculaire à (LN) passant par S coupe [LN] en R. 

Calculer RS. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip 

Dans un repère orthonormé (O, I, J) tel que OI = OJ = 1~cm, placer les points M$(- 2~;~- 4)$ et N$(2~;~- 2)$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle OMN est isocèle en M. 
\item Construire le point P, image de N par la translation de vecteur $\vect{\text{MO}}$. 
\item Quelle est la nature du quadrilatère OMNP ? Justifier. 
\item Calculer les coordonnées de K, point d'intersection de [ON] et de [MP]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{La troisième partie peut être traitée indépendamment des deux premières parties.}

\medskip 

Voici un solide constitué d'un parallélépipède surmonté d'une pyramide à base rectangulaire. 

La hauteur totale du solide est : SI = 12 cm. 

Le parallélépipède a pour longueur EF = 10 cm, pour largeur HE = 6 cm et pour hauteur BF $= x$. 

\begin{center}
\begin{pspicture}(6.5,5.5)
\pspolygon(0.3,1.2)(0.3,2.3)(2,1.6)(2,0.5)%HDAE
\pspolygon(2,1.6)(2,0.5)(5.9,1)(5.9,2.1)%AEFB
\psline[linestyle=dashed](5.9,2.1)(4.2,2.7)(0.3,2.3)(5.9,2.1)
\psline[linestyle=dashed](5.9,1)(4.2,1.6)(0.3,1.2)(5.9,1)
\psline[linestyle=dashed](2,0.5)(4.2,1.6)
\psline[linestyle=dashed](2,1.6)(4.2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](4.2,2.7)(4.2,1.6)
\psline(0.3,2.3)(3.2,4.9)(2,1.6)%DSA
\psline(5.9,2.1)(3.2,4.9)
\psline[linestyle=dashed](4.2,2.7)(3.2,4.9)(3.2,1.1)
\uput[l](2,1.6){A} \uput[r](5.9,2.1){B} \uput[ur](4.2,2.7){C} 
\uput[l](0.3,2.3){D} \uput[d](2,0.5){E} \uput[r](5.9,1){F} 
\uput[d](4.2,1.6){G} \uput[u](3.2,4.9){S} \uput[l](0.3,1.2){H}
\uput[d](3.2,1.1){I}\uput[dr](3.2,2.2){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Première partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume $V_1$ du parallélépipède en fonction de $x$. 
\item Montrer que le volume $V_2$ de la pyramide est égal à $240 - 20x$. 
\item Entre quelles valeurs $x$ peut-il varier ? 
\item Trouver $x$ pour que $V_1 = V_2$ ; quelle est alors la valeur commune de ces volumes ? 
\item Pour quelles valeurs de $x$ le volume de la pyramide est-il inférieur à 200 cm$^3$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip 

Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal; placer l'origine en bas à gauche et choisir comme unité 1cm sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 20~cm$^3$ sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $f\::\: x \longmapsto 60x$ 
\item[$\bullet~~$]  $g \::\: x \longmapsto 240 - 20x$ 
\end{itemize}

\item  Expliquer comment retrouver par lecture graphique les résultats de la question \textbf{4.} de la première partie. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip 

On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le milieu de sa hauteur [SO]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la section obtenue en expliquant la démarche.
\item Dessiner cette section en vraie grandeur. 
\end{enumerate}
\end{document}