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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montréal et New York juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne l'expression
\[A(x) = x^2-25 - (4x - 3) (x - 5)\]

et la fraction rationnelle 
\[F(x) = \dfrac{x^2 - 10x + 25}{A(x)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $A(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer l'ensemble de définition de la fraction
F(x).
		\item Simplifier la fraction F(x).
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$, des nombres réels, les équations suivantes;

\begin{center}$A = 0  \quad ; \quad F =- \dfrac23$ \quad et\quad  $F = 1$.\end{center}

\item On pose
\begin{center}$y_1 = x - 5$\qquad  et \qquad $y_2 = - 3x + 8$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement les variations de $y_1$ et de $y_2$ en fonction de $x$ dans un repère orthonormé.
		\item Les images graphiques de ces deux fonctions sont deux droites sécantes en P{}.
		
Calculer les coordonnées du point P{}.
		\item Montrer que l'abscisse de P est racine de l'équation $F = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} Les questions 4. a. et 4. b. sont indépendantes des premières.

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un angle droit $\widehat{x\text{A}y}$.

Sur [A$x$), on porte les segments [AM] et [AN] tels que AM $= 4$~cm et AN $= 6$~cm et, sur [A$y$), on porte le segment [AP] tel que AP $= 8$~cm.

On construit le cercle circonscrit au triangle MNP, qui coupe A$y$ en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure du segment [AQ].
\item Les droites (QM) et (PN) se coupent en B.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les angles BMN et NPQ.
		\item Montrer que les triangles BMN et BPQ sont semblables.
		\item Quel est leur rapport de similitude ?
	\end{enumerate}
\item Calculer la mesure des segments [MQ] et [NP].
\item Calculer $\sin \widehat{\text{AMQ}}$.

Sachant que $\sin 360 \approx 0,588$ et $\sin 370 \approx 0,602$,
donner, en degrés et minutes, la mesure de l'angle $\widehat{\text{AMQ}}$.
\end{enumerate}
\end{document}