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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 1968~\decofourright}\\[7pt] ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les deux termes, $x$ et $y$, de la fraction $\dfrac xy$, sachant qu'elle est égale à $\dfrac53$ et que, en ajoutant 2 à
chacun de ses termes, la fraction obtenue est égale à $\dfrac32$.
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y_1 = 5x$ et $y_2 = 3x - 3$\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentatives.
\item Soit deux nombres relatifs, $A$ et $B$ ; leur rapport est
égal à $+ \dfrac34$.

Calculer ces deux nombres, connaissant leur produit, $A \times B = + 192$.

Combien le problème admet-il de solutions 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 10$~cm et soit [A$x$) la tangente en A à ce demi-cercle.

Par le point C du segment [AB], situé à 2~cm de A, mener la perpendiculaire à (AB) ; elle coupe le demi- cercle en D.

La droite (BD) coupe en E la tangente [A$x$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [BD] et [BE]?
\item Une deuxième droite passant par B coupe le demi-cercle en F et [A$x$) en G.

Montrer que
\begin{center}AB$^2$ = BD $\cdot$ BE = BF $\cdot$ BG.\end{center}
\item Démontrer la similitude des triangles BDF et BEG.
\item Prouver que le quadrilatère DFGE est inscriptible.
\item Soit (BT) une droite tangente en T au cercle circonscrit à ce quadrilatère.

Montrer que le triangle ABT est isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}