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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1980}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord  juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $p$ définie dans $\R$ par
\[p(x) = 1 - 4(4x - 1)^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p$ est une fonction polynôme de
degré deux.
		\item Écrire $p$ sous la forme d'un produit de fonctions
polynômes de degré égal à un.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies dans $\R$ par
\begin{center}$f(x) = (4x - 1)^2$\quad  et \quad $g(x)= 1 - 4x$.\end{center} 

Déterminer $g \circ f$,\:$f \times g$ et $\dfrac{f}{g}$. (Les fonctions $g \circ f$ et
$f \times g$ seront présentées sous la forme d'un produit de
fonctions polynômes de degré égal à un. 

Pour la fonction $\dfrac{f}{g}$, on déterminera l'ensemble de définition et
on simplifiera son écriture.)
\item Calculer

\begin{center}$(g \circ f)\left(-\dfrac14\right), \quad (f \times g)\left(-\dfrac14\right)$\: et\: $\left(\dfrac{f}{g}\right)\left(-\dfrac14\right)$.\end{center}

\item On considère un repère orthonormé \Oij. Tracer la représentation graphique de $g$. Résoudre graphiquement les équations
\begin{center}$g(x) = 0$ \qquad et $g(x) = 1$.\end{center}
\item Simplifier selon les valeurs de $x$,
\[A = |1 - 4x|.\]
\item On pose $B = \sqrt{(1 - 4x)^2}$.

Calculer $B$ pour $x= -2$, puis pour $x = 1$. 

Simplifier selon les valeurs de $x$, l'expression de $B$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[|1 - 4x| = 2\sqrt 2 + 1.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé \Oij{} on donne les points A, B et C définis par

\[\vect{\text{OA}}=2\vect{\imath} +2\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OB}}= 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OA}}= 7\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points, Calculer $d$(A, B), $d$(B, C) et
$d$(A, C).
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est un
triangle rectangle d'hypoténuse [A, C].
\item Soit le point E symétrique de A par rapport à B. Calculer les coordonnées du point E.
\item Calculer les coordonnées du point F tel que le quadruplet (A, C, E, F) soit un parallélogramme.

Ce parallélogramme a-t-il des propriétés particulières ? Justifier la réponse.
\item Soit le cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle (A, B, C).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du centre P de ce cercle.
		\item Soit le point M symétrique de B par rapport à P, démontrer que le quadruplet (A, B, C, M) est un rectangle.
	\end{enumerate}	
\item On désigne par $a$ l'écart angulaire en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

Calculer $tan a$ et en déduire la valeur approchée par défaut de $a$ à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}