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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{novembre 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{Brevet des collèges Amérique du Sud novembre 2001}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient A $= - \dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{9} \times \dfrac{3}{4}$
et B $ = \dfrac{4}{3} - 2 \times \dfrac{13+ 1}{13 - 1}$.

\medskip
 
Calculer A et B en faisant apparaître les calculs intermédiaires et en présentant les résultats sous formes simplifiées.
\item  Soient C $= \left(\sqrt{10} - 3\right)\left(\sqrt{10} + 3\right)$ 	et	 D $ = \dfrac{5 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^4}{3 \times 10 \times 2 \times 10^{-1}}$.\\
  
Montrer par le calcul que C et D sont des nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item  Soit $E = (x - 4)^2 + (x + 6)(x - 4)$.

Écrire E sous forme d'un produit de facteurs.

Résoudre l'équation $2(x - 4)(x + 1) = 0$.
\item Soit $F =  (2x - 3)^2 -  2(5 - 6x)$.

Développer et réduire l'expression $F$.

Calculer F lorsque $x = 2\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les résultats d'un contrôle de la vitesse des véhicules dans la rue d'une agglomération ont été consignés dans le tableau ci-dessous ; les vitesses sont regroupées en classes de $10$~km/h d'amplitude.

\medskip

{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1,75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Vitesse en km/h&$20 < v \leqslant 30$&	$30<v \leqslant 40$&	$40 < v \leqslant 50$&$50 < v \leqslant 60$	&$	60 < v \leqslant 70$& $70	< v \leqslant 80$\\ \hline
Nombre de véhicules	&	26	&	104&	188&108&	16&	8\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre total de véhicules contrôlés?.
\item Combien de véhicules, roulent à une vitesse supérieure à la limite autorisée de 50 km/h ?
\item Quel est le pourcentage de ces automobilistes, qui roulent à une vitesse supérieure à 50 km/h, se trouvant en infraction ?
\item Calculer la vitesse moyenne des véhicules dans cette rue de l'agglomération. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$ près.

Rappelons que la vitesse est un facteur fortement aggravant des accidents de la route.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI =  OJ = $1$~cm, on considère les points A$(- 6~;~ 2)$ et B(5,5~;~ 3,5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OA, OB et AB ; on donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à $1$~mm près.

En déduire la nature du triangle OAB.

Calculer, à un degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $90$\degrees ; le sens de cette rotation est le sens des aiguilles	d'une montre.

Construire A$'$OB$'$ image de AOB par cette rotation.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}'}$ ; on donnera une valeur arrondie au degré près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un cube dont l'arête mesure $8$~cm.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.6)(5.5,5.5)
\psframe(4,4) \psline(4,0)(5.1,1)(5.1,5)(4,4)
\psline(0,4)(1.1,5)(5.1,5)
\psline(4,4)(0.5,4.5)
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.5)(0.5,0.5)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,1)(5.1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.1,1)(1.1,5)
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,4){B} \uput[u](1.1,5){C} \uput[ur](1.1,1){D} \uput[r](5.1,1){E} 
\uput[r](5.1,5){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[dr](4,0){H} \uput[ul](0.5,0.5){M} \uput[ul](0.5,4.5){N} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume $V$ de ce cube et l'aire A de ses faces.
\item  Soit M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC].\\
Quel est le nom du solide ABNMHG ?

Calculer son volume $v$.

Donner une valeur simplifiée de la fraction $\dfrac{v}{V}$.
\item  On suppose maintenant $M$ sur [AD] et $N$ sur [BC] tels
que A$M$ = B$N = x$.

Écrire le volume $v_{x}$ de ABNMHG en fonction de $x$. Calculer $x$ pour que $v_{x}$ représente $15$\:\%
 du volume $V$ du cube ABCDEFCH.
\end{enumerate}}

\emph{Rappel : }
 
\emph{ Volume du prisme : aire de la base multipliée par la hauteur.}

\emph{ Volume de la pyramide : aire de la base multipliée par la hauteur et divisée par $3$.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un opérateur téléphonique propose à ses clients trois formules de facturation mensuelle des communications.

\begin{itemize}
\item  Formule 1 :  $0,75$~F la minute.
\item  Formule 2 :  un abonnement fixe de $30$~F et $0,25$~F par minute.
\item  Formule 3 :  un forfait de $65$~F pour $3$~h de communications.
\end{itemize}
   
\bigskip
   
\textbf{Partie I}

\medskip

Calculer le montant des factures des communications selon les trois formules de tarification pour des durées de $35$~min, de $1$~h $20$~min et de $2$~h $45$~min.

Pour présenter les réponses, recopier et compléter le tableau ci-dessous.

   
\medskip
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&$3$ min	& $1$ h $20$ min& $2$ h $45$ min\\\hline 
Formule 1	&	&	&\\ \hline
Formule 2	&	&	&\\ \hline
Formule 3	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
   
\bigskip
   
\textbf{Partie II}

\medskip

Cette partie a pour but de rechercher la formule la plus avantageuse selon la durée des communications téléphoniques comprises entre $0$ et $3$~heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ la durée, en minutes, des communications.

Exprimer, en fonction de $x$, le coût des communications selon les différents tarifs ; on appellera $f_{1}(x)$ le prix obtenu en appliquant la formule \no 1, $f_{2}(x)$ en appliquant la formule \no 2, et $f_{3}(x)$ en appliquant la formule \no 3.
\item  Sur une feuille de papier millimétré, on considère un repère orthogonal. L'origine est placée en bas à gauche de la feuille. Sur l'axe horizontal, $1$~cm représente $15$~min ; sur l'axe vertical, $1$~cm représente $10$~F. 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer les représentations graphiques de $f_{1},~ f_{2}$ et $f_{3}$ en se limitant au cas où $0 \leqslant x \leqslant 180$. 
		\item  Résoudre l'équation $0, 75x = 0,25x + 30$.
		
 Résoudre l'inéquation $0,25x + 30 < 65$. 
		\item  Utiliser le graphique de la question a. pour répondre aux questions suivantes :
		
\begin{itemize}
\item  Quelle est la formule la plus avantageuse pour une durée de $1$~h $30$ de communications ?
\item   Pour quelle durée de communications les formules 1 et 2 ont-elles le même coût ?
\item   Pour quelles durées de communications la formule 3 est-elle la plus avantageuse ?
 \end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 