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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Simplifier les expressions suivantes (ne pas donner une valeur approchée)

$A = \left(6 - \dfrac23 + \dfrac12\right) - \left(5 + \dfrac53 - \dfrac32\right)- \left(3 \dfrac73 + \dfrac52\right)$

$B = \sqrt{18} \times \sqrt 6$

$C=3\sqrt 2 - 4\sqrt 8 + 2 \sqrt{18}$

$D = \dfrac23 \sqrt 3 - \dfrac14 \sqrt{12}.$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Développer et simplifier

\[E =(5x - 3)(2x +5) + 15.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unités 1~cm pour chaque axe).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(1~;~6); B$(-1~;~2)$ ; C$(5~;~-1)$.
\item Calculer les coordonnées du milieu I de AC.
\item Placer le point D(7~;~3) et démontrer que I est le milieu de [BD].
\item Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un carré, un rectangle et un triangle ayant même aire $A$.

Les mesures des côtés du rectangle sont $25$ cm et $9$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure $c$ du côté du carré.
\item Un côté du triangle mesure $25$ cm. Quelle est la mesure $h$ de la hauteur du triangle relative à ce côté ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Une personne reçoit une proposition d'inscription annuelle à un club du livre: deux options sont possibles.

\begin{itemize}
\item Option 1 : l'inscription coûte $120$ F et l'achat de chaque livre $30$~F.
\item Option 2 : l'inscription coûte $300$ F et l'achat de chaque livre $15$~F.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une personne veut s'inscrire au club et acheter 6 livres par an.
Combien paiera-t-elle si elle choisit l'option 1 ? Si elle choisit l'option 2 ?
		\item Mêmes questions qu'au a) dans le cas de l'achat de $12$, puis de $16$ livres par an.
		\item Quelle est dans chaque cas l'option la plus avantageuse ?
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal: on prend sur l'axe des abscisses l'unité 1~cm pour un livre et sur l'axe des ordonnées l'unité 1~cm pour 50 F.

Placer les points A, B, C représentant les coûts pour $6, 12$ ou $16$ livres dans l'option 1 et les points D, E, F représentant les coûts pour $6, 12$ ou $16$ livres dans l'option 2.
\item Soit $x$ le nombre de livres achetés dans l'année.

Exprimer en fonction de $x$ la somme totale $S_1(x)$ à payer pour l'option 1 et la somme totale $S_2(x)$ pour l'option 2.
\item On donne les applications affines $f$ et $g$ de $\R_+$ dans $\R_+$ telles que

\begin{center}$f(x) = 30x + 120$ \quad et \quad $g(x) = 15x + 300$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement f et g dans le repère
du 2.
		\item Par une méthode de votre choix, déterminer le nombre de livres pour lequel la somme à payer est la même avec l'option 1 ou avec l'option 2.
		\item En utilisant le graphique, indiquer suivant le nombre de livres achetés, l'option la plus avantageuse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}











\end{document}