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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1988}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Mettre chacun des nombres suivants sous la forme d'un, fraction irréductible :

\[A = \dfrac{5}{10} + \dfrac{14}{21} - \dfrac{15}{12} ; \qquad B = \dfrac{9}{70} \times \dfrac{28}{27} ; \qquad C = \dfrac{11}{36} : \dfrac{55}{48}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E=3\sqrt{125} -2\sqrt{45} + \sqrt{20} - 2\sqrt{80}$.

Écrire $E$ sous la forme $a\sqrt 5$ où $a$ est un nombre entier.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que :

\[f(x) = 2x^2 - 3x - 5.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$.
\item À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée
de $f\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-3}$ près par défaut.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation suivante :

\[7x - 5 = 4x + 16.\]

\bigskip

\textbf{Deuxième partie: activités géométriques }

\medskip

\emph{Chaque réponse devra être justifiée. Cependant, une réponse pourra toujours être admise sans démonstration et être utilisée dans une question suivante.}

\medskip

$(C)$ est un cercle de centre O, de diamètre AB $= 8$ (unité : le cm). 

Soit M un point de $(C)$, distinct de A et de B. On désigne par I le milieu du segment [BM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle AMB est rectangle.
\item Pourquoi peut-on affirmer que les droites (OI) et (AM) sont parallèles et que les droites (OI) et (BM) sont perpendiculaires ?
\item On construit le point P tel que $\vect{\text{BP}} = \vect{\text{OM}}$. 

Démontrer que le quadrilatère OMPB est un losange.
\item Quelle est, en cm, la distance BP ? 

En déduire que, lorsque M se déplace sur le cercle $(C)$, le point P se déplace sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ les fonctions de $\R$ dans $\R$ définies par :

\begin{center}$f(x) = 5x$ \qquad et  \qquad $g(x) = 2x + 6$.\end{center}

Construire les représentations graphiques $D$ et $D'$ de $f$ et $g$ dans un même repère orthonormé \Oij.

Calculer les ordonnées du point commun à $D$ et à $D'$.
\item Dans cette partie du problème, $x$ désigne un réel positif.

On rappelle que l'aire d'un trapèze est égale au produit de la hauteur par la demi-somme des bases.

	\begin{enumerate}
		\item Soit un trapèze ABCD tel que 
		
\begin{center}$\widehat{\text{BAD}} = 90\degres, \quad \widehat{\text{ADC}} = 90\degres$,\quad 
AB $= 4$ cm, DC $= 6$ cm, AD $= x$.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7.2)
\pspolygon(0.3,0.3)(0.3,6)(4.9,6.6)(4.9,3.2)(7.3,0.3)%DFEBC
\psframe(0.3,3.2)(0.5,3.4)\psframe(0.3,3.2)(0.5,3)\psframe(4.9,3.2)(4.7,3)
\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)
\psline(4.9,3.2)(0.3,3.2)%BA
\uput[l](0.3,3.2){A} \uput[r](4.9,3.2){B} \uput[r](7.3,0.3){C} \uput[l](0.3,0.3){D}
\uput[ur](4.9,6.6){E} \uput[ul](0.3,6){F}
\end{pspicture}
\end{center}

Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $\mathcal{A}(x)$ du trapèze ABCD.
		\item Soit ABEF un autre trapèze tel que
1ÎAF = 90°, ABE= 90°. BE=3 cm, AF=x.

Exprimer en fonction de $x$, l'aire $\mathcal{B}(x)$ du trapèze ABEF.
		\item Pour quelle valeur de $x$, l'aire $\mathcal{B}(x)$ est-elle égale à l'aire
$\mathcal{A}(x)$ ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire $\mathcal{B}(x)$  est-elle strictement
supérieure à l'aire $\mathcal{A}(x)$  ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}