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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Amérique du Nord }}
\rfoot{\small{juin 1990}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES\hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres suivants en donnant le résultat sous forme
de fraction irréductible.

\[A = \dfrac54 \times \dfrac23 - \dfrac38\qquad \text{et}\quad B = 0,3 + \dfrac{11}{24} : \dfrac58.\]


\item Mettre le nombre $R$ suivant sous la forme $a \sqrt 5 + b\sqrt 3$ où
$a$ et $b$ sont des entiers.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer $D = \left(4x^2 + 1\right)(3x + 2)$.
		\item Factoriser $F = 2(2x + 3) - (2x + 3)^2$.
		\item Résoudre l'équation
		
\[ F = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Dans une papeterie, 4 classeurs et 1 paquet de feuilles coûtent $72$~F{}, 3~classeurs et 2~paquets de feuilles coûtent $59$ F{}.
	\begin{enumerate}
		\item Si $x$ est le prix d'un classeur et $y$ le prix d'un paquet de feuilles, écrire un sytème d'équations traduisant les données.
		\item Calculer le prix d'un classeur et celui d'un paquet de feuilles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les questions $1$., $2$. et $3$. sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle ABC sachant que : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC~=~11 cm.
		
Faire apparaître les traits de construction. 

Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
		\item Placer sur la demi-droite d'origine B passant par A le point M tel que BM $=~10$~cm.
		
La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe la droite (AC) en N.

Calculer AM. Calculer ensuite AN et MN.
	\end{enumerate}
\item On considère un triangle ABC rectangle en A tel que
AB $= 13$ et AC $= 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BC. On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt b$, $a$
et $b$ étant entiers.
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{B}}$ et $\tan \widehat{\text{B}}$.
		\item Donner à $1\degres$ près par défaut la valeur de l'angle $\widehat{\text{B}}$.
	\end{enumerate}	
\item Soit un parallélogramme ABCD, placer un point M quelconque sur la diagonale [BD]. 

Construire les points E et F vérifiant :

\[\vect{\text{AM}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{AE}}\quad \text{et}\quad \vect{\text{AM}} + \vect{\text{AB}} = \vect{\text{AF}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner deux vecteurs égaux à $\vect{\text{AD}}$, en déduire que MBCE est un parallélogramme.
		\item Donner deux vecteurs égaux à $\vect{\text{AB}}$, en déduire que MDCF est un parallélogramme.
		\item Démontrer en utilisant les questions précédentes que les points E, C et F sont alignés. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

On désire fabriquer en carton le patron du prisme droit décrit
ci-dessous.

La base est un triangle rectangle. On ne tiendra pas compte de
languettes de collage. 

Les longueurs sont exprimées en centimètres et $y = \dfrac34 x$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(7.5,3.7)
%\psgrid
\pspolygon(0,0.8)(0.2,2)(0.9,1.2)(0.7,0)
\pspolygon(0.7,0)(1.6,0.7)(1.8,0)
\psline(1.8,0)(2.1,0.7)(1.3,1.5)(1,0.8)%(0.8,0)
\psline(1,0.8)(1.3,0.5)
\psline[linestyle=dashed](1.3,0.5)(1.8,0)
\psline(1,0.8)(0.8,1.5)(0.7,1.4)
\psline[linestyle=dashed](0.7,1.4)(0,0.8)(0.82,0.8)
\psline(0.82,0.8)(1,0.8)
%%%%
\pspolygon(2,1.7)(3,1.7)(3,2.4)
\psline(3,2.4)(2.2,3.2)(1.2,2.5)(2,1.7)
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.5)(2.2,2.5)(2.2,3.2)
\psline[linestyle=dashed](2.2,2.5)(3,1.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,1.6)(3,1.6)\uput[d](2.5,1.6){\small $x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.1,1.7)(3.1,2.4)\uput[r](3.1,2.05){\small $y$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.15,2.7)(2.1,3.3)\uput[ul](1.7,3){\small $z$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.12,2.4)(1.95,1.58)\uput[dl](1.4,2.){\small $12$}
%%%%
\psframe(3.8,0.9)(6.7,2.4)
\pspolygon(5,0.9)(5,2.4)(5.9,3.1)(5.9,0.2)%CC'E'E
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5,1.8)(5.9,1.8)\uput[u](5.45,1.8){\small $x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.7,0.9)(3.7,2.4)\uput[l](3.7,1.65){\small 12}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,2.4)(6,3.1)\uput[r](6,2.75){\small $y$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.9,2.5)(5.8,3.2)\uput[ul](5.35,2.75){\small $z$}
\uput[d](3.8,0.9){A} \uput[u](3.8,2.4){A$'$} \uput[dl](5,0.9){C} \uput[ul](5,2.4){C$'$}
\uput[dr](5.9,0.9){D} \uput[dr](5.9,2.4){D$'$} \uput[dr](6.7,0.9){B} \uput[ur](6.7,2.4){B$'$}
\uput[d](5.9,0.2){E} \uput[u](5.9,3.1){E$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}%Figures

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Citer les segments du patron qui ont nécessairement des
longueurs égales à $x$, à $y$, à $z$ respectivement.
		\item On donne $x = 4$ cm. 
		
Calculer les longueurs DE et CE puis les longueurs EE$'$ et AB, sur le patron. 

Calculer le volume V du prisme.
		\item On donne $x = 10$ cm. 
		
Calculer les longueurs EE$'$ et AB. 

Calculer le volume $V$ du prisme.

Recopier et compléter ensuite le tableau récapitulatif suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|m{1.cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 4 cm&10 cm\\ \hline
EE$'$&&\\ \hline
AB&&\\ \hline
V&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La valeur $x$ est maintenant quelconque.
		
Démontrer que

\[\text{CE} = \dfrac54 x.\]

On pose

\[f(x) = \text{EE}' \quad \text{et}\quad g(x) = \text{AB}.\]

Exprimer EE$'$ et AB en fonction de $x$.
		\item Représenter les fonctions $f$ et $g$ dans un repère, pour $x$ compris entre 0 et 12. (On choisira des axes perpendiculaires, $1$ cm pour unité en abscisse et $0,5$ cm pour unité en ordonnée. )
	\end{enumerate}
\item Dans les questions suivantes, on dispose d'une feuille de carton carrée pour découper le patron du prisme.

Celui-ci est disposé de telle sorte que les droites (EE$'$) et (AB) soient parallèles aux bords de la feuille de carton.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.4,3.5)
%\psgrid
\psframe(0,0.7)(3,3.7)\psframe(7.5,0.7)(10.5,3.7)
\psframe(0.2,1.6)(2.8,2.6)\psframe(7.5,1.5)(10.5,2.9)
\pspolygon(1.3,1.6)(1.3,2.6)(2.1,3.3)(2.1,0.9)
\pspolygon(8.6,1.6)(8.6,2.9)(9.6,3.7)(9.6,0.7)
\rput(1.6,0.1){Figure 1}\rput(9,0.){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item On dispose d'une feuille de carton carrée de 27 cm de côté ; quelle est la valeur maximum de $x$ possible pour fabriquer le patron?
		\item Pour quelle valeur de $x$ le patron s'inscrit-il exactement dans un carré (figure 2) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}