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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1991}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne les trois nombres suivants :

\[a = \dfrac34 \qquad b = \dfrac45 \qquad c = \dfrac56\]

Calculer : \:$b- a \:; \qquad a - bc \:; \qquad \dfrac{ac}{b}$.

(On donnera les résultats sous forme de fractions aussi simples que possible.)
\item Calculer les nombres suivants :

\[\left(10^3\right) \times 10^{-2} ; \qquad \left(2\sqrt 7\right)^4 ; \qquad \dfrac{\sqrt 2 \times \sqrt{18}}{2} ; \qquad \dfrac{3^9 \times 3^{-1}}{3^5}
\]

(On donnera les résultats sous forme de nombres entiers.)
\item Développer les expressions suivantes :

\[\begin{array}{l c l}
A&=&\left(x^2 +3\right)(x + 1)\\
B &=&(5x + 2)(2 - x).
\end{array}\]

\item Factoriser les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}C &=& 36 - (x + 1)^2\\
D &=& (x + 1)(2x + 3) + (2x + 3)^2.
\end{array}\]

\item Un commerçant fait une réduction de 30\,\% sur tous ses articles.
	\begin{enumerate}
		\item Une chemise valait $200$ F{}. Quel sera son prix après réduction ?
		\item Soit $x$ le prix d'un article et $y$ son prix après réduction. 
		
Exprimer $y$ en fonction de $x$.
		\item Un article a été payé $182$~F{}, quel était son prix initial ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthogonal (O, I, J) représenter les points suivants :
(unité le cm)

\[\text{A}(1~;~- 1)\quad \text{B}(2~;~3)\quad  \text{C}(-2~;~2)\quad \text{D}(4~;~2).\]

		\item Placer le point E tel que $\vect{\text{CE}}= \vect{\text{AB}}$.

		\item Placer le point F tel que $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (CDFE) ? Justifier votre réponse.
		\item Le quadrilatère (ABFD) est-il un losange ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\item~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,4.2)
%\psgrid
\psline(-3.5,1.3)(2.5,1.3)(4,2.9)(0.6,2.9)
\psline(-0.6,2.9)(-2,2.9)(-3.5,1.3)
\psellipticarc(0,0)(2.75,0.7){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.75,0.7){0}{180}
\psellipticarc(0,2.2)(1.15,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,2.2)(1.15,0.3){0}{180}
\psline(-2.75,0.05)(-1.8,1.3)
\psline(0,3.7)(0.58,1.97)
\psline[linestyle=dashed](0.58,1.97)(0.8,1.3)
\psline(1.4,-0.6)(0.8,1.3)
\psline[linestyle=dashed](-1.8,1.3)(-1.15,2.2)\psline(-1.15,2.2)(0,3.7)(1.15,2.2)
\psline[linestyle=dashed](1.15,2.2)(1.8,1.3)\psline(1.8,1.3)(2.75,0.05)
\psline[linestyle=dashed](0,3.7)(0,0)(1.4,-0.6)
\psline[linestyle=dashed](0,2.2)(0.58,1.97)
\uput[u](0,3.7){A} \uput[dr](1.4,-0.6){B} \uput[dl](0.58,1.97){C} \uput[l](0,0){H} \uput[l](0,2.2){K}
\end{pspicture}
\end{center}

La figure représente un cône de révolution de sommet A et de hauteur AH, coupé par un plan parallèle à la base.

L'unité étant le centimètre, on donne: AH $= 7$ \quad  AB $= 9$\quad  AK $= 1,75$.

On admettra que (KC) et (HB) sont parallèles.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter le triangle AHB en vraie grandeur. (On fera apparaître les traits de construction.)
		\item Calculer la valeur exacte de HB. En déduire l'aire de la base du grand cône. (Donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à
1 mm$^2$ près.)
		\item Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.
		\item En utilisant le rapport $\dfrac{\text{AK}}{\text{AH}}$ et en admettant que le volume du grand cône est $\dfrac{224}{3}\pi$~cm$^3$, calculer la valeur exacte du volume du petit cône.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Le théâtre d'une ville propose $20$ spectacles dans la saison. Trois formules de tarifs sont proposées :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] FORMULE A : Un versement unique de $820$ F qui permet d'assister à autant de spectacles que l'on désire.
\item[$\bullet~$] FORMULE B : Une cotisation de $260$ F qui permet de payer seulement 45 F par spectacle.
\item[$\bullet~$] FORMULE C : Aucun versement au départ, mais chaque spectacle coûte 95 F.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant·

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Nombre de spectacles}&4 &8 &16\\ \hline
Prix &A&&&\\ \hline
& B&&&\\ \hline
& C&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le nombre de spectacles vus.

Soient $a$ la dépense pour ces $x$ spectacles avec la formule A.

\phantom{Soient }$b$ la dépense pour ces $x$ spectacles avec la formule B.

\phantom{Soient }$c$ la dépense pour ces $x$ spectacles avec la formule C.

Exprimer les valeurs de $b$ et $c$ en fonction de $x$.
\item Dans un repère orthogonal (avec en abscisse $1$ cm pour une unité et en ordonnée $1$ cm pour $100$ unités), tracer les droites d'équations:

\[y = 820 \qquad y = 45x + 260 \qquad y = 95x.\]

\item Par simple lecture du graphique précédent indiquer la formule qui
semble la plus avantageuse selon le nombre de spectacles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $95x \leqslant  45x + 260$.
		\item Résoudre l'inéquation $45x + 260 \leqslant 820$.
		\item À l'aide de ces résultats, dire quelle est la formule la plus avantageuse selon le nombre de spectacles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}