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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $x=  \dfrac47$ et $y=\dfrac23$.

Calculer $A = x + y\;\quad B =x - y\:;\quad  C = 7x+3y \:;\quad  D = x^2 - y^2$ \:et \quad 
$E = \dfrac xy$.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $G = 5\sqrt{192} + 7\sqrt{75} - 3\sqrt{363}$.

\begin{enumerate}
\item Écrire $G$ sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont deux entiers.
\item Sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, donner la valeur décimale à $0,1$ près par défaut de $G$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $H = (3a +4)^2 - (a + 5)^2$
et $K = (2b - 1)(5 - 3b) -3(b + 1)(2b -1) +24b - 12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $H$ et $K$.
\item Développer et simplifier $H$ et $K$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{}
(unité 1 cm), on considère les points: 

\begin{center}A$(-1~;~-2)$,\qquad B(3~;~2),\qquad  C(5~;~0).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C.
\item Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [AC].
\item Calculer les coordonnées du point D symétrique du point B par rapport au point I.
\item Calculer les longueurs respectives des segments [AC] et [BD].
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 
\item Construire le point E défini par $\vect{\text{CE}} = 2 \vect{\text{CB}}$.
\item Déterminer la nature du quadrilatère DBEA.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un organisme de vente par correspondance de bandes dessinées offre à sa clientèle trois contrats possibles A, B et C.
\begin{itemize}
\item A : un abonnement par trimestre de $60$~F{}, plus $5$~F par livre
acheté;
\item B : un abonnement par trimestre de $30$ F{}, plus $10$~F par livre acheté;
\item C : sans abonnement mais $20$~F par livre acheté.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour $12$ livres achetés, le prix de revient pour chaque contrat.
\item Une personne dispose de $80$~F par trimestre. 

Quel contrat doit-elle. choisir ? Justifier votre réponse.
\item Si $x$ est le nombre de livres achetés durant un trimestre, exprimer en fonction de $x$ la somme $S_{\text{A}}(x)$ pour le contrat A, la somme $S_{\text{B}}(x)$ pour le contrat B et la somme $S_{\text{C}}(x)$ pour le contrat C.
\item Représenter dans un repère orthogonal \Oij{} les droites dont une équation est :

\begin{itemize}
\item Pour la droite $D_1 :\quad  y = 60 + 5x$.
\item Pour la droite $D_2 :\quad  y = 30 + 10x$.
\item Pour la droite $D_3 :\quad  y = 20x$.
\end{itemize}
On prendra en abscisse pour unité le cm et en ordonnée pour unité 0,1 cm.
\item Déterminer graphiquement quel contrat conseiller à un client en fonction du nombre de livres qu'il va acheter dans un trimestre.
\end{enumerate}
\end{document}