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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1989}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer

\[a = \dfrac73 - \dfrac23 \times \dfrac14\:;\qquad  b = \dfrac{-5}{4} \times \dfrac{1}{-15} \times \dfrac{-3}{-2}\:;\qquad c = \dfrac54 : 3.\]

Chaque résultat sera donné sous forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire le nombre réel $\dfrac53 \sqrt{2} + 6\sqrt{27} - 2\sqrt{75}$ sous
forme $a\sqrt b$, où $a$ est un nombre rationnel et $b$ un entier positif
aussi petit que possible.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $f(x) = (7x + 1)(3x - 2) - 9x^2 + 4.$

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\dfrac23\right),\: f\left(\sqrt 2\right)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un triangle ABC tel que AB $= 4$ cm, AC $= 5$ cm, BC $= 3$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC. Démontrer qu'il est rectangle.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{BAC}}$. Donner la valeur approchée à 1 degré
près par défaut de $\widehat{\text{BAC}}$, en utilisant la table suivante:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$&30° &31° &32°&33° &34° &35° &36° &37°\\ \hline
$\sin a$&0,5 &0,515& 0,530&0,545& 0,559& 0,574& 0,588&0,602\\ \hline \hline
$a$&38° &39° &40\degres &41° &42° &43° &44° &45°\\ \hline
$\sin a$&0,616 &0,629 &0,643 &0,656 &0,669 &0,682 &0,695 &0,707\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Construire le point H tel que $\vect{\text{AH}} = \dfrac74\vect{\text{AB}}$.

Construire le point I de la droite (AC) tel que les droites (HI) et (BC) soient parallèles.

Calculer AI et HI.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur un tube cylindrique de $40$~cm de hauteur et de $12$~cm de diamètre, on pose une boule de $20$~cm de diamètre.

Calculer OH, puis la hauteur totale de l'ensemble (cylindre et boule).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-4.7)(1.5,1.6)
\psarc(0,0){1.5}{-47}{227}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.5}{227}{-47}
\psellipticarc(0,-1)(1.1,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1)(1.1,0.45){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(0,-4.2)
\psline[linestyle=dashed](0,-1.1)(-1.1,-1.1)
\psellipticarc(0,-4.2)(1.1,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-4.2)(1.1,0.45){0}{180}
\psframe(0,-1.1)(-0.2,-0.9)
\psline(-1.1,-1)(-1.1,-4.2)\psline(1.1,-1)(1.1,-4.2)
\uput[r](0,0){O} \uput[r](0,-1.1){H} \uput[r](0,-4.2){H$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Une personne fait régulièrement le même trajet en train.

La SNCF lui propose deux formules :

\begin{itemize}
\item formule A : payer chaque voyage à plein tarif, soit $280$ F ; 
\item formule B : acheter une carte \np{1600} F et payer chaque voyage à demi-tarif, soit $140$F.
\end{itemize}

On désigne

\begin{itemize}
\item par $x$ le nombre de voyages;
\item par $y_1(x)$ le coût de ces $x$ voyages avec la formule A ;
\item par $y_2(x)$ le coût de ces $x$ voyages avec la formule B.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 5&7 &10&15\\ \hline
$y_1(x)$&&&&\\ \hline
$y_2(x)$&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Exprimer $y_1(x)$ et $y_2(x)$ en fonction de $x$.
\item Soit $f_1$ et $f_2$ les applications de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[f_1(x) = 280x\:;\qquad  f_2(x) = 140x + \np{1600}.\]

Représenter les applications $f_1$ et $f_2$ dans un repère d'axes orthogonaux.

(Sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 1 voyage ; sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente $200$ F{}.)
\item Résoudre, dans $\R$, l'inéquation $f_2(x) < f_1(x)$.
\item En déduire le nombre de voyages à partir duquel la formule B est plus avantageuse que la formule A.
\end{enumerate}
\end{document}