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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1998}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne les expressions numériques suivantes:

\[A = \dfrac{5}{11} + \dfrac{3}{11} : \left(1 - \dfrac23 \right), \qquad  B = \dfrac{0,9 \times \left(10^{-3}\right)^2 \times 10^9}{15 \times 10^3}.\]

Calculer $A$ et $B$. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simples que possible.
\item On donne $C = \sqrt 6 - \sqrt 5$ et $D = \sqrt {10} + \sqrt 3$.

Prouver, en développant, que $C^2 + D^2$ est un entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un aliment est composé de 30\,\% de glucides, 55\,\% de protides et
15\,\% de lipides.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter à l'aide d'un diagramme circulaire de rayon $4$ cm la composition de cet aliment en glucides, protides et lipides et faire les calculs d'angles.
\item Dans cet aliment la masse des protides est de $77$ grammes. En déduire la masse totale, en grammes, de l'aliment.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $E=(2x + 5)^2 - x(2x + 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ lorsque $x = -1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation suivante: $x - 1  \leqslant \dfrac73 x + 1$.
\item Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les constructions seront faites sur la figure ci-dessous. La figure $F_1$ est le triangle ABC.On numérotera les figures à construire.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,2.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.6,0.2)(0.2,1.5)%ABC
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.6,0.2){B} \uput[u](0.2,1.5){C}
\rput(1.9,0.5){$F_1$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire $F_2$, image de $F_1$ par la symétrie de centre B.
\item Construire $F3$, image de $F_1$ par la rotation de $90\degres$, de centre A, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\item Construire le point M tel que $\vect{\text{AM}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.
\item Construire $F_4$, image de $F_1$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AM}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que: AB $= 8$ cm, \,  BC $= 9$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Calculer la longueur AC. On donnera la valeur exacte en cm, puis la valeur approchée arrondie au dixième de cm.
\item Calculer $\widehat{\text{ABC}}$ et en déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, arrondie à $0,1\degres$ près.
\item Calculer, en justifiant le calcul, le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
SABCD est une pyramide régulière de sommet S et dont la base est un carré ABCD de centre O. 

SMNPQ est une réduction de SABCD à l'échelle $\dfrac23$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que AB $= 6$ cm et
OS $= 11$ cm, montrer que le volume $V$ de SABCD est égal à $132$~cm$^3$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4,4)
\psline(0.2,0.2)(2.8,0.2)(3.8,0.7)(2,4)(2.8,0.2)%ABCSB
\psline(2,4)(0.2,0.2)%SA
\psline(0.8,1.5)(2.5,1.5)(3.2,1.8)%MNP
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.5)(1.5,1.8)(3.2,1.8)%MQP
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,0.7)(3.8,0.7)%ADCA
\pspolygon[linestyle=dashed](2.8,0.2)(1.2,0.7)(2,4)%BDS
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.8,0.2){B} \uput[dr](3.8,0.7){C}
\uput[ul](1.2,0.7){D} \uput[l](0.8,1.5){M} \uput[dr](2.5,1.5){N}
\uput[ur](3.2,1.8){P} \uput[ul](1.5,1.8){Q} \uput[u](2,0.45){O}
\uput[l](2,4){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer l'aire de MNPQ.
\item Calculer le volume $V'$ de SMNPQ en cm$^3$. On donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}
\hfill

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Voici une figure schématisant la position de cinq villes A, B, C, D, E
sur une carte dont l'échelle n'est pas donnée.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
\pspolygon(0.3,0.3)(6.9,0.3)(5.4,2.9)%DEA
\psline(2.23,1.3)(6.35,1.3)%BC
\uput[u](5.4,2.9){A} \uput[ul](2.1,1.3){B} \uput[ur](6.4,1.3){C} \uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[dr](6.9,0.3){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

Les points A, B, D sont alignés ainsi que A, C, E.

Deux camarades, Christophe et Jean-Luc veulent faire une promenade à bicyclette à partir de la ville A. Après avoir consulté la carte, ils décident de passer par B et D pour rejoindre E.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne AB $= 12$ km, AD $= 20$ km, AC $= 6$ km, CE $= 4$ km.

Jean-Luc dit: \og (BC) et (DE) sont parallèles \fg. 

Prouver qu'il a raison.
\item DE $= 25$ km. Calculer BC, en km.
\item Sur la carte, DE est représentée par une longueur de $12,5$ cm. Trouver l'échelle de cette carte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour aller de A à D en passant par B, Christophe et Jean-Luc, roulent à la vitesse moyenne de $10$~km/h. Calculer le temps qu'ils mettent pour effectuer ce trajet.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À partir de D, Jean-Luc roule à $15$~km/h. On désigne par $x$ le temps écoulé, en heures, depuis son départ de D.

Exprimer la distance parcourue par Jean-Luc à partir de D, en fonction de $x$. On appelle $f(x)$ cette distance.
		\item Faire une représentation graphique de $f$ dans le repère ci-dessous. 
		\item Christophe part de D un quart d'heure plus tard que Jean-Luc et veut le rattraper. La distance parcourue par Christophe à partir de D, en fonction de $x$, est définie par
		
\[g(x) = 20\left(x - \dfrac{1}{4}\right).\]

Représenter graphiquement l'application affine $g$ dans le repère ci-dessous.
		\item Trouver graphiquement le temps mis par Christophe pour rejoindre son camarade et la distance qui les sépare alors de D. (Utiliser des pointillés).
		\item Retrouver les résultats du d. par le calcul
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture}(4,30)
\multido{\n=0.0+0.5}{61}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0.00+0.05}{81}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,30)}
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,30)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(4,30)
\uput[u](3.4,0){Temps écoulé en heures}
\uput[r](0,29){Distance parcourue en km à partir de D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}