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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord~\decofourright\\[5pt]juin 2005}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{7}{11}$ et B $= \dfrac{210 \times  10^{-6} \times  5 \times 10^5}{35 \times 10^4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le résultat de A sous la forme d'une fraction irréductible en précisant toutes les étapes.
\item Déterminer l'écriture scientifique de B en précisant toutes les étapes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Madame A et Monsieur B sont tous les deux professeurs de mathématiques et ont tous les deux une classe de Troisième ayant 20 élèves.

Ils comparent les notes obtenues par leurs élèves au dernier devoir commun :
 
\medskip
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
{\small Notes attribuées par Madame A}& 	{\small Notes attribuées par Monsieur B}\\ \hline
 7 -- 8 -- 12 -- 12 -- 18 -- 5 -- 11--&  8 -- 8 -- 9 -- 12 -- 11 -- 8 -- 13 -- \\
 6 -- 3 -- 8 -- 5 -- 18 -- 9 -- 20 --& 15 -- 7 -- 9 -- 10 -- 10 -- 12 -- 8 -- \\
 6 -- 16 -- 6 -- 18 -- 7 -- 15&10 -- 14 -- 12 -- 11 -- 14 -- 9 \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire, sur la copie et sur un même dessin, les diagrammes en bâtons représentant les deux séries de notes. (Utiliser deux couleurs.)
\item Calculer la moyenne de chaque série.
\item Déterminer une médiane de chaque série.
\item Comparer ces deux classes.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c r}
x - 3y& =& 35\\
5x-4y &=& - 20\\
\end{array} \right.$
\item  Montrer que les valeurs trouvées pour $x$ et $y$ vérifient la condition
suivante :
\[8\left(\dfrac{x - 5}{y - 5}\right) = 3\left(\dfrac{x + 20}{y + 20}\right).\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure grise est obtenue après avoir appliqué une transformation du plan  à la figure blanche. Dans chaque cas :

$\bullet~$ Préciser le type de transformation (symétrie axiale centrale, translation, rotation).

$\bullet~$ Faire apparaître et préciser le(s) élément(s) caractéristique(s) de cette transformation (axe, centre, vecteur, angle, sens de rotation).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(12,9)
\def\cocottea{\pspolygon(0,0)(0.5,0)(0.75,0.25)(1,0)(1,0.5)(0.75,0.75)(1,1)(0.5,1)(0.5,0.5)}
\def\cocotteb{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,0)(0.75,0.25)(1,0)(1,0.5)(0.75,0.75)(1,1)(0.5,1)(0.5,0.5)}
\def\cocottec{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(-0.5,0)(-0.75,0.25)(-1,0)(-1,0.5)(-0.75,.75)(-1,1)(-0.5,1)(-0.5,0.5)}
\psframe(0,0)(6,3) \psframe(6,0)(12,3) 
\psframe(0,3)(6,6) \psframe(6,3)(12,6) 
\psframe(0,6)(6,9) \psframe(6,6)(12,9) 
\rput(1.5,7.5){\cocottea} \rput(4.5,7.5){\cocottec}
\rput(7.5,7.75){\cocotteb}  \rput{180}(10.5,7.25){\cocottea} 
\rput(1.5,4.75){\cocottea} \rput(4.5,3.75){\cocotteb}
\rput{90}(9,4.5){\cocotteb} \rput(9,4.5){\cocottea} \uput[d](9,4.5){A} 
\rput(1.25,1.75){\cocotteb} \rput(4.5,0.75){\cocottea}
\rput{-30}(7,0.75){\cocottea} \rput{80}(11,2.25){\cocottec}
\rput(0.5,8.5){a.} 	\rput(6.5,8.5){b.}
\rput(0.5,5.5){c.} 	\rput(6.5,5.5){d.}
\rput(0.5,2.5){e.}	 	\rput(6.5,2.5){f.}
\end{pspicture}
\end{center}

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}  Transformation : \ldots \ldots &\textbf{b.}  Transformation : \ldots \ldots\\
 Éléments caractéristiques : \ldots \ldots &  Éléments caractéristiques : \ldots \ldots\\
\textbf{c.}  Transformation : \ldots \ldots &\textbf{d.}  Transformation : \ldots \ldots \\
Éléments caractéristiques :  \ldots \ldots &  Éléments caractéristiques : \ldots \ldots\\
\textbf{e.}  Transformation : \ldots \ldots &\textbf{c.}  Transformation : \ldots \ldots \\
Éléments caractéristiques \ldots \ldots &  Éléments caractéristiques : \ldots \ldots\\
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une boîte parallélépipédique de dimensions 4 cm, 4 cm et 8 cm contient deux boules de rayon 2 cm. Calculer le volume de l'espace laissé libre par les deux boules (arrondir au cm$^3$).

\emph{Rappel} :
Le volume d'une boule de rayon R est $\dfrac{4}{3}\pi\text{R}^3$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O ; I, J), placer les points :

\begin{center} A(6 ; 0), L(0 ; 8) et K(4 ; 10). \end{center}

\item Calculer la longueur AL.
\item On donne : AK $= \sqrt{104}$ et LK $= \sqrt{20}$.

Démontrer que le triangle AKL n'est pas rectangle en L.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point L$'$, symétrique de L par rapport à la hauteur issue de A du triangle AKL.
		\item En déduire la longueur AL$'$.
		\item Déterminer approximativement (par lecture graphique) les coordonnées de L$'$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, si $x$ est l'abscisse d'un point $M$ de la droite (LK), alors l'ordonnée de $M$ est $\dfrac{1}{2}x + 8$ et :
	\[\text{A}M^2 = \dfrac{5}{4}x^2 - 4x + 100.\]
	\begin{enumerate}
		\item En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles on a A$M = 10$.
		\item Quelles sont alors les coordonnées exactes de L ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\parbox{0.45\textwidth}{ABC est un triangle rectangle en A avec :

AB = 4 cm et AC = 3 cm.

$M$ est un point de [BC], $P$ est un point de [AB] et $Q$ un point de [AC] tels que le quadrilatère A$PMQ$ soit un rectangle.

Notons $x$ la longueur B$P$ en cm.}\hfill
 \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.4cm}\begin{pspicture}(4,3.5)\pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
 \psline(3,0)(3,0.75)(0,0.75) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4,0){B} \uput[ul](0,3){C} \uput[l](0,0.75){$Q$} \uput[ur](3,0.75){$M$} \uput[d](3,0){$P$} \uput[d](3.5,0){$x$} 
\end{pspicture}}
 
\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $PM = \dfrac{3}{4}x$.
\item Montrer que le périmètre du rectangle A$PMQ$ est égal à $8 - \dfrac{x}{2}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi on a : $0  \leqslant x \leqslant 4$.
		\item Est-il possible de placer $M$ sur [BC] pour que le périmètre du rectangle A$PMQ$ soit égal à :
		
 7~cm ? 4~cm ? 10~cm ?
	\end{enumerate}
\item Faire la figure dans le cas où le périmètre est 7 cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur BC.
		\item Montrer que B$M = \dfrac{5x}{4}$.
	\end{enumerate}
\item En déduire, en fonction de $x$, le périmètre du triangle B$PM$.
\item Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques des fonctions:

\[x  \longmapsto 3x\quad  \text{et} \quad  x \longmapsto 8 - \dfrac{x}{2}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $x$ pour laquelle B$PM$ et A$PMQ$ ont le même périmètre.
		\item Trouver par un calcul la valeur exacte de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 