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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Amérique du Sud }
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud novembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'expression $A = x^2 + 3x - 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $x = \sqrt 5 + 2$.
\item Montrer que $A =(x + 5)(x - 2)$.
\item Résoudre l'équation $A = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $1 - \left(\dfrac{40}{100} + \dfrac37\right)$.
\item Lorsqu'elle commande des plantes, une fleuriste respecte toujours la répartition suivante :
\begin{itemize}
\item 40\,\% des plantes sont des plantes vertes,
\item $\dfrac37$ des plantes sont des plantes à fleurs,
\item le reste est constitué de plantes grasses.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle fraction des plantes représentent les plantes grasses ?
		\item Parmi les plantes à fleurs, les $\dfrac23$ sont des roses.

Quelle fraction des plantes représentent les roses ?
		\item Si cette fleuriste reçoit $360$ plantes, combien y aura-t-il de plantes vertes dans la livraison ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Vincent a obtenu aux contrôles de mathématiques les notes suivantes: 

\[10~;~15~;~8~;~0~;~14,5.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer sa moyenne.
\item Quelle note doit-il obtenir au 6\up{e} contrôle pour que sa moyenne augmente d'un point?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
La figure ci-contre est un cube ABCDEFGH d'arête $4$ cm.

\begin{enumerate}
\item Indiquer sans justification la nature du quadrilatère AEGC.
\item Calculer EG.
\item Calculer la longueur de la diagonale [EC].
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.3)
\psframe(0.2,0.3)(2.7,2.8)%ABFE
\psline(2.7,0.3)(4.2,1.3)(4.2,3.8)(2.7,2.8)%BCGF
\psline(4.2,3.8)(1.7,3.8)(0.2,2.8)%GHE
\psline(0.2,2.8)(4.2,3.8)%EG
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.3)(1.7,1.3)(4.2,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.3)(4.2,1.3)%AC
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.3)(1.7,3.8)%DH
\uput[d](0.2,0.3){\small A}\uput[d](2.7,0.3){\small B}\uput[r](4.2,1.3){\small C}\uput[l](1.7,1.3){\small D}
\uput[l](0.2,2.8){\small E}\uput[r](2.7,2.8){\small F}\uput[ur](4.2,3.8){\small G}\uput[u](1.7,3.8){\small H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour la figure ci-dessous on donne:

AB $= 6$ ; AC $= 9$ ; AD $= 10$ ; AE $= 15$ ; CE $= 12$.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
\item Calculer la longueur du segment [BD].
\item Montrer que le triangle ACE est un triangle rectangle.
\item Calculer à 1 degré près la mesure de
l'angle $\widehat{\text{CEA}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.4,5.4)
%\psgrid
\pspolygon(1,4.3)(5,0.9)(8,4.3)%ACE
\psline(5.5,4.3)(3.5,2.1)%DB
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,4.5)(5.5,4.5)\uput[u](3.25,4.5){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,4.9)(8,4.9)\uput[u](4.5,4.9){15}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.2,0.7)(8.2,4.1)\uput[dr](6.7,2.4){12}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,4.1)(3.3,1.9)\uput[ur](2.02,2.85){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,3.9)(4.6,0.5)\uput[dl](2.6,2.2){9}
\uput[l](1,4.3){A} \uput[l](3.5,2.1){B} \uput[d](5,0.9){C} \uput[ur](5.5,4.3){D} \uput[ur](8,4.3){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
La figure ci-contre représente un triangle BCD dont [CH] est une hauteur.

On donne : CH = 3 ; BH = 5 et HD $= x$;

l'unité est le centimètre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.8,3.3)
\pspolygon(0.3,0.5)(5.3,0.5)(3.6,2.7)%BDC
\psline(3.6,2.7)(3.6,0.5)%CH
\psframe(3.6,0.5)(3.4,0.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.3)(3.6,0.3)\uput[d](1.95,0.3){5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,0.3)(5.3,0.3)\uput[d](4.45,0.3){$x$}
\uput[l](0.3,0.5){B} \uput[u](3.6,2.7){C} \uput[r](5.3,0.5){D} \uput[ur](3.6,0.5){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ le triangle BCD est-il isocèle de sommet C ? On justifiera la réponse.
\item Construire la figure pour $x = 2$. Calculer l'aire du triangle BCD dans ce cas.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle BCD en fonction de $x$.
		\item On note cette aire $\mathcal{A}$. Vérifier que $\mathcal{A}$ peut s'écrire sous la forme:
$1,5x + 7,5$.
	\end{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$, l'aire du triangle BCD est-elle égale à
$15$ cm$^2$ ? Que peut-on dire alors du triangle BCO ?
\item Tracer dans un repère orthonormal la droite d'équation $y = 1,5x + 7,5$. 

On utilisera une feuille de papier millimétré et on prendra $1$~cm pour unité.
\item Comment la représentation graphique de la question 5. permet-elle de vérifier les résultats des questions 2. et 4. ? Une rédaction précise sera exigée.

\end{enumerate}
\end{document}