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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Amérique du Sud}
\lfoot{\small novembre 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud novembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a, b$ et $c$ : on écrira chaque résultat sous forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers les plus simples possible.

\[a = \dfrac{2}{18} + \dfrac19\:;\quad b = \dfrac{17}{12} \times \dfrac{6}{34}\:; \quad c = \dfrac{10}{17}\]

\item Calculer $d$ en donnant l'écriture scientifique $ d= - 3,5 \times 10^{-12} \times \left(- 3\times 10^{14}\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression:

\[E = (2x + 1)(x + 3) - (x + 3)^2.\]

\item Calculer la valeur de $E$ pour $x=- 3$
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression: $\left(x + \dfrac12\right)^2 - \dfrac{25}{4}$.
\item Résoudre l'équation $(x + 3) (x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les dimensions d'un tapis rectangulaire trois fois plus long que large dont l'aire est $2,43$ m$^2$.
\item Calculer, à 1~cm près, le côté d'un tapis carré de même aire (arrondir au cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le transformé de la figure (1) par la symétrie orthogonale d'axe $(D)$.
\item Reconnaître la transformation géométrique par laquelle la figure (1) a pour image la figure (2), et faire les constructions qui justifient la réponse.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-2)(5.5,2.7)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.5)(2.6,-1)(1,-1.2)
\pspolygon(-0.5,-1.5)(-2.6,1)(-1,1.2)
\psarc(1.8,-1.1){0.8}{190}{370}
\psline(3.4,-2)(5,2.7)\uput[l](5,2.6){$(D)$}
\rput(1.6,-0.6){1}\rput(-1.6,0.6){2}
\psdots(1.8,-1.1)(-1.8,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un triangle équilatéral ABC dont les côtés ont pour
longueur $6$ cm. D est l'image de B dans la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point D.
\item Les diagonales de ABDC se coupent en I. Démontrer que les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires.
\item Déterminer les valeurs exactes de BI et de AI.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle ABD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une classe est constituée de 23 élèves. 

Sur le tableau ci-dessous figurent les âges de ces élèves (en années).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
René &Aurélie &Martine &Pierre &Denis &Michel\\ \hline
13 &12& 10 &14 &11& 12\\ \hline
Sylvie &Nicole &Jacques &André &Marie &Henri\\ \hline
14 &14 &12 &13 &14 &10\\ \hline
Audrey &Monique &Béatrice &Jean &Claudine &Pascal\\ \hline
13 &12 &14 &11 &14 &12\\ \hline
Philippe &Laurent &Françoise &Stéphanie &Éric\\ \hline
13 &12 &12 &10 &13\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous en indiquant les effectifs et le fréquences en \,\% (les taux seront arrondis à l'entier le plus proche).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âges (en années)&Effectifs&Fréquences (en \,\%)\\ \hline
~&&\\ 
~&&\\ 
~&&\\ 
~&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Construire un diagramme en bâtons représentant les effectifs en fonction des âges (on prendra 1 cm pour 1 enfant).
\item Construire un diagramme circulaire représentant les.fréquence.

Le détail des calculs figurera sur la copie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Soit (O, I, J) un repère orthonormal du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans ce repère la droite $\left(d_1\right)$ d'équation : $y = - \dfrac12 x + 5$.

Quel est son coefficient directeur?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la droite $\left(d_2\right)$ qui passe par le point E$(1~;~- 3)$, et qui a pour coefficient directeur 2.
		\item Déterminer une équation de cette droite.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_s\right)$ sont perpendiculaires.
\item Calculer les coordonnées de A, point d'intersection de $\left(d_1\right)$ et $\left(d_s\right)$.
\item B est le point de $\left(d_1\right)$ d'abscisse 0 ;

C est le symétrique de B par rapport à 0 ;

D est le symétrique de A par rapport à l'axe des ordonnées.

Placer les points sur la figure et donner sans calcul les coordonnée de B, C et D.
\item Démontrer que les points A, B, D et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\item Calculer la distance AB. Déterminer le sinus de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ et
donner la valeur approchée entière de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}