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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Amérique du Sud}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud  novembre 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose :

\[M = - \dfrac57 \times \left(\dfrac34 - \dfrac95\right)\quad \text{et} \quad P = \dfrac{1,5\times 10^{-5} \times \left(2 \times 10^3\right)^2}{ 0,14 \times 10^2}\]

Écrire les nombres $M$ et $P$ sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne les expressions :

\[A = (2x-1)^2 + (2x - 1)(- x - 3) \quad \text{et}\quad   B = 2x^2 - 9x + 4\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A$.
\item Montrer que $A = B$.
\item Calculer $B$  pour $x= \sqrt 5$.
\item Résoudre l'équation: $(2x - 1) (x - 4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l c r}
5x+3y &=& \np{3710}\\
x+ y &=& 850
\end{array}\right.\]

\item Dans un théâtre, deux tarifs sont pratiqués : un plein tarif à $100$ F et un tarif réduit à $60$~F.

La recette d'un spectacle auquel assistaient $850$ personnes est \np{74200}~F{}.

Calculer le nombre $x$ de billets plein tarif et le nombre $y$ de billets à tarif
réduit qui ont été vendus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ROI est un triangle tel que :

RO $= 8 $cm, RI $= 7$ cm,  OI $= 3$ cm.

Soit M un point de [RO]. On
trace par M la parallèle à (OI) qui coupe (RI) en N.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(8.4,3.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(8.2,0.2)(6.8,2.7)%ROI
\psline(3,0.2)(2.5,1.1)%MN
\uput[dl](0.2,0.2){R} \uput[dr](8.2,0.2){O} \uput[u](6.8,2.7){I} \uput[d](3,0.2){M} \uput[ul](2.5,1.1){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On pose RM $= x$ avec $0 \leqslant x \leqslant 8$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les longueurs RN et MN en fonction de $x$
		\item Montrer que le périmètre $P_1$ du triangle RMN est égal à $\dfrac94 x$.
		\item Montrer que le Périmètre $P_2$ du trapèze MOIN est égal à $18 - \dfrac32x$.
	\end{enumerate}	
\item Déterminer $x$ pour que les deux périmètres soient égaux.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un trapèze rectangle en A et B tel que, avec une unité choisie : 
AB $= 9$, AD $= 3$, BC $= 6$.

Soit H le projeté orthogonal de D sur la droite (BC).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.8,5.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(7.2,0.2)(7.2,4.8)(0.2,2.5)%ABCD
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)\psframe(7.2,0.2)(7,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](7.2,0.2){B} \uput[u](7.2,4.8){C} \uput[u](0.2,2.5){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que DC $= 3\sqrt{10}$.
\item Soit I le point du segment [AB] tel que AI $= 4$.

Le triangle DIC est-il rectangle en I ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J). On choisit le centimètre pour unité graphique sur les deux axes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer dans ce repère les point A(0~;~5), B(6~;~3) et C$(-1~;~2)$.
\item On trace par C la parallèle à la droite (AB) qui coupe l'axe des abscisses en D.
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification le coefficient directeur de la droite (AB).
		\item Déterminer une équation de la droite (CD).
		\item En déduire que le point D a pour coordonnées (5~;~0).
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les segments [BC] et [AD] ont même milieu K.
		\item Montrer que le triangle CAB est rectangle en A.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ABDC.
		\item Montrer que l'aire du quadrilatère ABDC est égale à 20 cm$^2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\tan \widehat{\text{CBA}} = \dfrac12$.
		\item En déduire à un degré près par défaut la mesure approchée de l'angle
$\widehat{\text{CBA}}$.
	\end{enumerate}
\item  Soit L l'image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{KB}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire L.
		\item Montrer que le quadrilatère BLAK est un losange.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}