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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Brevet des collèges Amérique du Sud \\novembre 2004}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Effectuer les calculs de A et de B ; donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible en justifiant les calculs :

A $ = \dfrac{15}{14}	 - \dfrac{6}{7} \times \dfrac{2}{3}$ 	et B $= \dfrac{1 - \dfrac{7}{18}}{\dfrac{7}{9}}$.

\item Effectuer les calculs de C et D donner le résultat sous la forme d'un produit d'un entier et d'une puissance de dix :

C $=  \dfrac{3\times 10^6 \times 6\times 10^5}{15 \times 10^7}$  et  D  $= \dfrac{3\times 10^6 + 6 \times 10^5}{15 \times 10^7}$.

\item Donner E sous la forme $a\sqrt{2} + b\sqrt{3}$  où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, en justifiant les calculs :

 E $= 5\sqrt{8} - 3\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{18}$.
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $F$ suivante :

\[F =  (7x - 8)(- x + 4) - (7x - 8)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item  Factoriser $F$. 
\item  Résoudre l'équation $(7x - 8)(-8x + 12) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de 264 et 462 en explicitant les calculs.
\item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{462}{264}$ sans utiliser la 
touche \og fraction \fg{} de la machine et en faisant apparaître clairement la méthode employée.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(10,5)
\pspolygon(0,0)(3.7,0)(3.7,2.3)(0,3.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.4,0)(3.2,2.1)
\psline(0.867,0)(0.867,2.1) \psline(1.333,0)(1.333,2.1) \psline(1.8,0)(1.8,2.1)
\psline(2.267,0)(2.267,2.1) \psline(2.733,0)(2.733,2.1)
\multido{\d=0.633+0.467}{6}{\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](\d,1.6)(0.18,0.1)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,3.3)(4.2,2.1)(6.4,3.2)(2.3,4.2)
\psline(4.2,2.1)(3.7,2.1)
\pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=vlines](4.2,2.1)(6.95,1.5)(9.2,2.5)(6.4,3.2)
\psframe[linestyle=dashed,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.4,0)(6.2,1.6)
\psline[linestyle=dashed](4.85,0)(4.85,1.6) \psline[linestyle=dashed](5.3,0)(5.3,1.6) 
\psline[linestyle=dashed](5.75,0)(5.75,1.6)
\multido{\d=4.65+0.45}{4}{\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](\d,1.3)(0.18,0.1)}
\psline[linestyle=dashed](3.7,0)(6.95,0)(9.2,1)(9.2,2.5) 
\psline[linestyle=dashed](6.95,0)(6.95,1.5)
\psline(0,3.3)(0.3,3.7) \psline(4.3,2.1)(4.6,2.5) 
\rput(7,4.5){Toiture rectangulaire} \rput(7,3.6){à rajouter}
\psline{->}(7,3.1)(7.4,2.3)
\uput[d](2,0){4,00} \uput[d](5.8,0){3,50} \uput[d](8.6,0.5){6,00} 
\rput(4,1.8){0,50} \rput(2.5,3){5,50}\uput[d](4.8,-0.4){Plan}
\end{pspicture}\end{center}

\begin{center}\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(0,-2)(8,3)
\pspolygon(0,2.3)(4.8,1)(0,1)
\psline(4.8,1)(7.6,1)(7.6,0.4)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(0,-1.2)(4,-1.2)(4.1,1)
\psline[linestyle=dashed](4.8,1)(7.6,0.4)(7.6,-1.2)
\psline(4.1,-1.2)(7.6,-1.2)
\uput[l](0,1){A} \uput[ul](0,2.3){F} \uput[dl](4.1,1){B} \uput[ur](4.8,1){C} \uput[r]
(7.6,1){D} \uput[r](7.6,0.4){E}
\uput[d](1.8,1){4,00} \uput[d](4.4,1){0,50} \uput[d](7,1){3,00}
\uput[u](2.5,1.8){5,50} \uput[d](5.8,-1.2){3,50}
\psframe(0,1)(0.15,1.15) \psframe(7.6,1)(7.45,0.85) 
\uput[d](4,-1.5){Schéma}
\end{pspicture}\end{center}

Rappels : FC = 5,50~m ; AB = 4,00~m ; BC = 0,50~m ; CD = 3,00~m.

M. Bricolo veut accoler à son garage, déjà construit pour une caravane, un deuxième garage. Pour cela, il faut prolonger la toiture. M. Bricolo a fait des mesures qu'il a indiquées sur son plan, puis a fait un schéma plus géométrique afin d'effectuer ses calculs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer AC.
Déterminer l'arrondi de l'angle $\widehat{\text{ACF}}$ au dixième de degré.

Sachant que l'étanchéité de la toiture est garantie si cet angle est de plus de 35~\degres, M. Bricolo pourra-t-il faire jouer cette garantie en cas de problème ?
\item Démontrer que les droites (AF) et (DE) sont parallèles.

 En déduire la longueur CE ; en donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centimètre.
\item Sachant que le deuxième garage aura une profondeur de 6~m, quelle est l'aire exacte de la partie de toiture à ajouter à la toiture d'origine.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle OBC rectangle en O tel que OB = 2~cm et OC = 4~cm.
\item Calculer la longueur BC. On donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{5}$.
\item Tracer le symétrique A du point C par rapport à la droite (OB).
\item Tracer le translaté D du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
\item Montrer que BC = BA, puis préciser la nature de ABCD (justifier).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Monsieur M. désire faire l'acquisition d'un véhicule. Une fois la marque et le modèle choisis, il faut choisir le type de motorisation.  Le moteur essence est beaucoup moins cher, mais son utilisation est plus coûteuse (consommation plus importante et le prix du carburant est plus cher). On se propose donc de faire une étude afin de faire le meilleur choix.

\begin{center}
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4,5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}&Modèle essence& Modèle diesel\\ \hline
Prix du véhicule (en euro)&\np{18700}&\np{2700}\\ \hline
Consommation (nombre de litres pour 100 km)&	7,4& 	5,5\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\textbf{Première partie : le véhicule essence}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que, dans une station-service, le super 98 (essence) est à 1 euro le litre : 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau suivant :

\hspace*{-1cm} {\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Distance parcourue	&100 km &\np{1000} km&\scriptsize 50 milliers de km (\np{50000} km)&\scriptsize 150 milliers de km (\np{150000} km) &\scriptsize  $x$ milliers de km\\ \hline
Nombre de litres consommés			&	&	&	&	&\\ \hline
Coût du carburant					&	&	&	&	&\\ \hline
Coût global (véhicule + carburant)	&{$\Huge \times$}&{$\Huge \times$}&&&\\ \hline
\end{tabularx}}

		\item Déterminer la fonction affine qui représente le coût global (véhicule et carburant) en fonction du nombre $x$ de milliers de kilomètres parcourus depuis l'achat du véhicule à moteur essence.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthogonal, donné ci-dessous, tracer la représentation graphique de la fonction 

$f :  x \longmapsto   74x + \np{18700}.$

$\bullet~$ 1 carreau représente \np{10000} kilomètres sur l'axe des abscisses, en commençant à zéro ; 

$\bullet~$ 1 carreau représente \np{1000} euros sur l'axe des ordonnées, en commençant à \np{15000}. 

Par lecture graphique, estimer à combien revient la voiture lorsqu'elle atteint \np{80000} km (indiquer les tracés utiles).

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.065cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-10,13000)(160,32000)
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,15000)(\n,32000)}
\multido{\n=15000+1000}{18}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1000,Oy=15000,Dy=100000]{->}(0,15000)(160,32000)
\multido{\n=0+10}{17}{\uput[d](\n,15000){\n}}
\multido{\n=15000+1000}{18}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[d](130,14000){Milliers de kilomètres}
\uput[ur](0,32000){euros}
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Deuxième partie : le véhicule diesel}

\begin{enumerate}
\item Sachant que, dans cette même station-service, le litre de gasoil (diesel) est à 0,80 euro le litre : 
\begin{enumerate}\item Compléter le tableau suivant :

{\small\begin{tabular}{|p{2.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}| p{1.5cm}|p{1.5cm}|}\hline
Distance parcourue&	100 km&\np{1000} km&50 milliers de km (\np{50000} km)&$x$ milliers de km\\ \hline
Nombre de titres consommés			&	&	&	& \\ \hline
Coût du carburant					&	&	&	& \\ \hline
Coût global (véhicule + carburant)	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabular}}

\item Déterminer la fonction affine qui représente le coût global (véhicule et carburant) en fonction du nombre $x$ de milliers de kilomètres parcourus depuis l'achat du véhicule à moteur diesel.
\end{enumerate}
\item Dans le repère orthogonal utilisé à la question précédente, tracer la représentation graphique de la fonction $g : x \longmapsto 44x + \np{21700}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : la discussion}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, à combien de milliers de kilomètres la dépense globale est-elle la même, quel que soit le véhicule acheté ? (Indiquer le tracé utile.)

Retrouver ce résultat par le calcul. 
\item Monsieur M. souhaite conserver son véhicule 5 ans, en faisant en moyenne \np{25000} km par an. 

Quel type de motorisation doit-on lui conseiller ?
\end{enumerate}\end{document} 