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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{novembre 2005}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud  novembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voici quatre calculs

\[\begin{array}{l cl}
\text{A} = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} \times\dfrac{1}{6}&\quad ; \quad &\text{B} = \sqrt{50} + 3\sqrt{2}\\
\text{C} = \left(1 + 2 \sqrt{3}\right)^2&\quad ; \quad &	\text{D} = \sqrt{\np{1681}} - \sqrt{81}\\
\end{array}\]

Les résultats de Chloé sont les suivants :

\[\text{A} = \dfrac{1}{14}\quad ;\quad \text{B} =8\sqrt{2}\quad ;\quad \text{C}
 = 13+4\sqrt{3} \quad ;\quad \text{D} = 40.\]
Les résultats de Chloé sont-ils justes ou faux ?

Justifier les réponses en détaillant les étapes de chaque calcul.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = x^2 - 4$ et $F = (x + 2)(3x + 1) - (x + 2)(2x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $E$ pour $x = 0$, puis pour $x = 1$ ; calculer $F$ pour $x = 0$, puis pour $x = 1$.
\item  En factorisant $E$ et en factorisant $F$, prouver que $E = F$ quelle que soit la valeur de $x$.
\item  Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $E = 0$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le tableau ci-dessous et compléter chaque case par oui ou par non.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{2}{c|}c|}\hline
&$\quad 2 \quad$&$\quad 5 \quad$&$ \quad 9 \quad $ \\\hline
\np{1035} est divisible par & & & \\\hline
774 est divisible par & & & \\\hline 
322 est divisible par & & & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item D'après ce tableau, les fractions	$\dfrac{774}{\np{1035}}$  et  $ \dfrac{322}{774}$ sont-elles irréductibles ?

Pourquoi?
	\end{enumerate}
\item Calculer le PGCD de $322$ et \np{1035} par la méthode de votre choix.

La fraction $\dfrac{322}{\np{1035}}$  est-elle irréductible
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $x+ 15 \geqslant \dfrac{2}{3}(x+27)$.
\item Un bureau de recherche emploie 27 informaticiens et 15 mathématiciens. On envisage d'embaucher le même nombre $x$ d'informaticiens et de mathématiciens.

Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de mathématiciens soit au moins égal aux deux tiers du nombre d'informaticiens ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.48\textwidth}{\textsl{On considère la figure ci-contre qui
n'est pas en vraie grandeur}.

Les segments (KL] et DM] se coupent au point I.

IK =  4 cm ; JK = 2,4 cm et LM = 4,2cm.	
Le triangle IJK est rectangle en K.
Le triangle LIM est rectangle en M.}
\hfill
\parbox{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(5.2,3)
\pspolygon(0,0.8)(4.7,3)(5.2,2)(0.2,2.7)%LKJM
\psline(0.2,2.5)(0.38,2.47)(0.42,2.68)
\psline(4.55,2.92)(4.62,2.8)(4.77,2.87)
\uput[d](0,0.8){L} \uput[u](4.7,3){K} \uput[d](5.2,2){J} \uput[u](0.2,2.7){M} \uput[d](3.1,2.3){I} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle $\widehat{\text{KIJ}}$.
\item  Pourquoi les angles $\widehat{\text{KIJ}}$ et $\widehat{\text{LIM}}$ sont-ils égaux ?
\item  Donner l'expression de la tangente de l'angle $\widehat{\text{LIM}}$ en fonction de IM.
\item  En s'aidant des réponses aux questions précédentes, prouver que la longueur IM en centimètres est un nombre entier.
\item  Déterminer l'arrondi su degré de l'angle $\widehat{\text{KIJ}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.48\textwidth}{Une calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un plan.

Un doseur de lessive liquide, représenté ci-contre, a la forme d'une calotte sphérique de centre O et de rayon R = OA =  4,5 cm.

L'ouverture de ce récipient est délimitée par le cercle de centre H et de rayon HA =  2,7 cm.

La hauteur totale de ce doseur est HK.}\hfill
\parbox{0.48\textwidth}{\begin{pspicture}(6,5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}
\pswedge[linecolor=white](2.5,2.5){2.5}{60}{120}
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.5)(3.33,4.8)(2.5,4.6)(2.5,0)
\psellipse(2.5,4.6)(1.25,0.35)
\uput[ur](3.33,4.8){A} \uput[u](2.5,4.6){H} \uput[l](2.5,2.5){O} \uput[d](2.5,0){K} \uput[r](5.5,2.5){$h$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.33,4.8)(5.5,5.4)
\psline[linewidth=0.5pt](2.5,0)(5.5,0.6)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.5,0.6)(5.5,5.4)
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO.
\item  Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK du doseur mesure exactement 8,1 cm.
\item  Le volume V d'une calotte sphérique de rayon R et de hauteur h est donné par la formule :

\[\text{V} = \dfrac{1}{3}\pi h^2(3R - h).\]

Calculer en fonction de $\pi$ le volume exact du doseur en cm$^3$. En déduire la capacité totale arrondie au millilitre du doseur.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\emph{Le plan est rapporté à un repère orthonormé} (O ; I, J) ; OI = OJ =  1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points

\begin{center}	A(3 ; 0) ; 8(4 ; 3) ; 	C$(-4,5~;~0)$ et	D$(-6~;~- 4,5)$.\end{center}

On admet que les points B, O et D sont alignés.
\item  Donner sans justifier les longueurs CA et OC.

Montrer que OB = 5 cm et OD = 7,5 cm.
\item  Prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item  Calculer les coordonnées de M milieu de (AB].

Placer le point M. Tracer la droite (OM) ; elle coupe le segment [CD] en N.
\item  La propriété de Thalès permet d'écrire :

\[	\text{d'une part} \quad \dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{CN}}{\text{AM}}, \quad  \text{et d'autre part}\quad  \dfrac{\text{OC}}{\text{OA}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}\]

Quels sont les deux triangles considérés dans le premier cas ? dans le deuxième cas ?
\item  En utilisant les deux égalités précédentes et en remplaçant AB par 2AM, prouver que N est le milieu de [CD].
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

$x$ \textsl{est un nombre positif compris entre $0$ et $10$ ; les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm}$^2$.

\medskip

\textsc{Première partie}

\medskip

\textsc{La figure ci-dessous est effectuée à main levée. Il s 'agit de savoir s'il existe une valeur de $x$ pour laquelle ABC est un triangle rectangle.}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{\begin{enumerate}
\item  Calculer AB et AC lorsque $x = 4$. Lorsque $x = 4$, ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse.
\item  Développer et réduire :
	$(x+7)^2$ et $(x+8)^2$. En déduire :
	AB$^2 - \text{AC}^2 = 2x +15$. Quelle est la valeur de AB$^2 - \text{AC}^2$ lorsque $x = 0$, lorsque $x = 10$ ? La valeur de BC$^2$ dépend-elle du nombre $x$ ?
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.33\textwidth}{\begin{pspicture}(4,2.5)
\pspolygon(0,0)(3.6,0)(1.7,1.6)%ABC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](3.6,0){B} \uput[u](1.7,1.6){C} \rput{42}(0.85,1.05){$x + 7$} \rput{-35}(2.7,1.15){$5$} \uput[d](1.8,0){$x + 8$} 
\end{pspicture}}	
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}]  Soit $f$ la fonction constante : $x \longmapsto 25$ et $g$ la fonction affine : $x \longmapsto 2x+ 15$.

La représentation graphique de la fonction $f$est tracée dans le repère ci-après. Construire la représentation graphique de la fonction $g$ dans ce même repère.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.225cm}
\begin{pspicture}(15,40)
\multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+2.5}{17}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(15,40)
\psline(0,25)(15,25)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,40){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item[\textbf{4.}]  Nommer R le point d'intersection des représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles, donner les coordonnées de R. Lorsque $x$ est égal à l'abscisse de R, ABC est un triangle rectangle ; en quel sommet et pourquoi ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, $x = 5$. Le triangle ABC est alors rectangle en C ; il est représenté en réduction sur la figure ci-dessous.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=0.333cm}\begin{pspicture}(36,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white]
\pspolygon[linewidth=1.5pt](13,4)(25,4)(13,9)%CAB
\uput[dl](13,4){C} \uput[dr](25,4){A} \uput[ul](13,9){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Placer le milieu O de [AC] puis calculer l'aire de chacun des triangles ABC, BCO et ABO,
\item  Placer le point D tel que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Quel est le rôle du point O pour le segment [BD] ? Pourquoi ? Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textsc{Troisième partie}

\medskip

\textsl{Dans cette partie, utiliser la figure précédente.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire les points M et P tels que :
\[\vect{\text{OM}}= \vect{\text{OB}}+ \vect{\text{OC}}\quad \text{et}\quad \vect{\text{BP}} = \vect{\text{BO}} + \vect{\text{BC}}.\]
\item  Citer, sans justifier, les images des points B, O et D par la translation
de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

Les points M, C et P sont-ils alignés ? Pourquoi ?
\item  Construire l'image E de C par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$ et tracer en vert l'image du parallélogramme ABCD par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

Quelle est l'aire du quadrilatère POME ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\end{document}