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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens juin 1976~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ désignant un réel, décomposer 

\[A(x) = (2x + 1)^2 - (x - 2)^2\]

en un produit de deux facteurs du premier degré. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $A(x) = 0$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{II.}

\medskip

On considère la fonction rationnelle $F$, définie pour tout réel $x$ différent de 2. par


\[F(x) = \dfrac{2x +1}{ x - 2}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $F(0)$,  $F(3)$, $F\left(\dfrac{5}{2}\right)$, $F\left(\sqrt{2}\right)$ et $F\left(-\sqrt{2}\right)$.

Mettre chacun des nombres $F\left(\sqrt{2}\right)$ et $F\left(-\sqrt{2}\right)$ sous la forme $a + b \sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des rationnels.

Vérifier que $F\left(\sqrt{2}\right) + F\left(-\sqrt{2}\right)$ est un entier. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $|F(x)| = 1$.

On rappelle que $|u|$ désigne la valeur absolue du réel $u$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III.}

\medskip

On considère les fonctions suivantes :

\[\begin{array}{l l c l}
f :&R &\longrightarrow& \R\\
	&x &\longmapsto& f(x) = 2x + 1.\\
g : &R &\longrightarrow& \R\\
	&x &\longmapsto& f(x) = x - 2.\\
g : &R &\longrightarrow& \R\\
	&x &\longmapsto& f(x) = 2 - x.\\
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $(D)$, $(\Delta)$ et $(L)$ représentatives
de ces fonctions dans un repère orthonormé \Oij.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection
	\begin{enumerate}
		\item de $(D)$ avec $(\Delta)$ ;
		\item de $(D)$ avec $(L)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{IV.}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B et C de coordonnées respectives:

\[\text{A}(1~;~2), \quad \text{B}(2~;~4), \quad \text{C}(5~;~0).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$,\,  $\vect{\text{AC}}$  et $\vect{\text{BC}}$.

Montrer que le triangle (A, B. C) est rectangle.

Montrer que A est le milieu du bipoint (O, B).
\item Soit D l'image de C dans la symétrie centrale de centre A.

Quelle est la nature du quadruplet (O, C, B, D) ?

Calculer les coordonnées de D.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point E tel que

\[\vect{\text{DE}} = \dfrac{8}{5}\vect{\text{DB}}.\]

		\item Expliquer pourquoi les points E, B et O sont alignés.
		\item Montrer que A et E sont deux points du cercle $(\mathcal{C})$ dont un diamètre est le segment [BC].
	\end{enumerate}
\item Le cercle $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses en C et F.

Quelle est l'abscisse du point F ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}