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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Construire dans un plan rapporté au repère \Oij{} orthonormé (l'unité de longueur étant le centimètre) les représentations graphiques $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ 
des fonctions affines $u$ et $v$ définies respectivement
pour tout $x$ de $\R$ par
\begin{center}$u(x) = 4 - x$\qquad et \qquad $v(x) = 5x -2$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point I, intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ; retrouver le résultat sur la figure.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies pour tout $x$ de $\R$, par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x + 6)^2 - 2(x + 1)(x + 6) \: \:\text{et}\\
g(x)&=&(3x + 2)^2 - 4(x - 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f(0),\: f(- 3)$  et $g\left(-\dfrac23\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $g(x) = 0$.
\item Soit $E = \{x / x \in \R$ et $g(x) \ne 0\}$ et la fonction rationnelle $h$ définie pour tout $x$ de $E$ par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\].

Dans $E$ simplifier $h(x)$.
\item Calculer $h\left(\sqrt 2\right)$ et rendre rationnel le dénominateur.
\item Résoudre dans $E$ les équations :
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = 0$ ;
		\item $h(x) = 1$ : pouvait-on prévoir ce résultat ?
		\item $h(x) = - \dfrac{5}{16}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{}
on donne les points A, B et C définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -2\vect{\imath} -3\vect{\jmath}, \quad  \vect{\text{OB}} = -4\vect{\imath} - \vect{\jmath},$ \quad et\quad $\vect{\text{OC}} = 2\vect{\imath} + \vect{\jmath}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les trois points A, B et C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Montrer que ces deux vecteurs sont orthogonaux; en déduire la nature du triangle (A, B, C).
		\item Calculer $d$(A, B) et $d$(A, C); en déduire $d$(B, C).
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique du point A par rapport à I milieu du segment [B, C].
	\begin{enumerate}
		\item Trouver les coordonnées du point I.
		\item Calculer les coordonnées du point D.
		\item Préciser la nature du quadruplet (A, B, D, C).
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{CAD}}$.

Déterminer $\tan a$.
\end{enumerate}
\end{document}