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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&3(x - 2)^2- (x - 2)(x + 1) -x + 2,\\
g(x)&=&(x + 2)^2 - 4(x - 1)^2.
\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner les polynômes $f(x)$ et $g(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ puis $g(x)$.
\item Calculer les images par $g$ des réels $- \dfrac23$ et $\sqrt 2$.
\item Résoudre dans l'ensemble des réels, les équations
\[f(x) = 0 \quad; \quad g(x) = 0\quad; \quad f(x) - g(x) = 0.\]

\item Soit $Q$ la fonction rationnelle définie dans $\R$ par 
\[Q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Utiliser les résultats de la question précédente pour préciser l'ensemble de définition 
$\mathcal{D}$ de la fonction $Q$ et pour résoudre 
\begin{center}$Q(x) = 0$ \qquad et  \qquad $Q(x) = 1$.\end{center}
\item Le réel $x$ étant élément de l'ensemble $\mathcal{D}$, simplifier $Q(x)$.

Soit $Q'(x)$ la forme -simplifiée, on vérifiera que
\[Q'(x) = -\dfrac23 \left(\dfrac{x - 2}{x}\right).\]
\item Résoudre, dans $\R$,
\[Q'(x) = - 1,\qquad |Q'(x)| = 2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

On considère un plan euclidien (P) muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points
\begin{center}
A(5~;~0),\qquad B$(-5~;~0)$,\qquad E(3~;~4)\quad et \quad F$(1~;~-2)$.\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{BE}}$ sont orthogonaux.
		\item En déduire que le point E appartient au cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB].

Construire ce cercle.
	\end{enumerate}
\item Le cercle $\mathcal{C}'$ de diamètre [OB] coupe la droite (BE) en K.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (OK) et (AE) sont parallèles.
		\item En déduire que K est le milieu de (B, E).
		\item Calculer les coordonnées de ce point K.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les distances FK et KE.
		\item Montrer que le quadruplet (A, E, K, F) est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}