\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Amiens septembre 1980},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

%\textbf{Exercice 1}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme $f$ définie pour tout $x$ de $\R$ par 
\[f(x) = 4x^2 - 49.\]
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans $\R,\: f(x) = 15$.
		\item D'après cette résolution $f$ est-elle une bijection ?
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme $g$ définie pour tout $x$ de $\R$ par
\[g(x) = (7 - 2x)(x + 5) - (21 - 6x)(2x - 1).\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $g(x)$.
		\item Écrire $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D} = \{x/x \in \R\: \text{et}\: g(x) \ne 0\}$ et soit $q$ la
fonction rationnelle définie pour tout $x$ de $\mathcal{D}$ par 
\[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\mathcal{D}$.
		\item Dans $\mathcal{D}$, simplifier q(x).
		\item Calculer $q\left(\sqrt 3\right)$ en rendant le dénominateur
rationnel.
		\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un
encadrement de $q\left(\sqrt 3\right)$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $\mathcal{D}$, \: $q(x) = 1$.
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} construire les droites 
$\left(D_1\right)$ d'équation $y - 2x - 7 = 0$,\: $\left(D_2\right)$ d'équation $y - 5x + 8 = 0$ et calculer les coordonnées de leur point d'intersection I.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les points
\begin{center} A(10~;~0),\qquad B(2~;~4) \quad et \quad C(8~;~4).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer ces points.

Quelles sont les composantes du vecteur $\vect{\text{AB}}$ ?
\item Démontrer que le triangle (O, A, B) est rectangle.
\item Dans la projection orthogonale sur la droite (OA) le point C a pour image H. 

D'autre part on appelle I le milieu de [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de H et de I.
		\item Calculer les coordonnées du point M tel que
\[2\vect{\text{MI}}  +3\vect{\text{MH}} = \vect{0}.\]
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un nombre réel $k$ (que l'on calculera) tel que l'on ait $\vect{\text{CM}} = k\vect{\text{OB}}$.

Vérifier que les vecteurs $\vect{\text{CM}}$ et $\vect{\text{AB}}$ sont orthogonaux. 
\item Soit $a$ l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{OAB}}$.

Déterminer $\sin a$.
\end{enumerate}
\end{document}