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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens juin 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Réduire le polynôme
\[P(x) = \left(x^2 - 6x + m\right) - (m - 5)\]

et utiliser l'identité obtenue pour donner à ce polynôme la forme d'une différence de deux carrés.
		\item Mettre cette différence sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $3x^2 - 3$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ la fraction
\[F(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 5}{3x^2 - 3}\]

a-t-elle un sens ?

Simplifier cette fraction.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système :
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=& x- 5,\\
y&=& 3(x + 1).
\end{array}\right.\]
		\item À l'aide d'un système d'axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, ur lesquels l'unité de longueur est le centimètre, représenter les droites d'équations
\begin{center}$y = x - 5$\qquad et \qquad $y = 3(x + 1)$,\end{center}
puis contrôler la résolution algébrique du système précédent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC, inscrit dans un demi-cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC $= 2R$ et tel que $\widehat{\text{ABC}} = 30\degres$.

Soit D le milieu de [BO].

La perpendiculaire en D à (BC) coupe la droite (AC) en G et le demi-cercle en F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle FOB est équilatéral.
\item (OF) coupe (BG) en E.

Démontrer que (OF) et (AC) sont parallèles et que E est le milieu de [BG].
\item Comparer les triangles BDF et GDC.

Calculer en fonction de $R$ la longueur des segments [GC] et [GD].
\item Montrer que les quatre points A, D, B et G appartiennent à un même cercle.

Calculer, en fonction de $R$, le diamètre de ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}