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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Amiens}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Amiens juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions suivantes:
\begin{center}$A(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{4x^2 + 12x + 9}$\qquad et \qquad $
B(x)= \dfrac{6x- 2x^2}{4x^2 + 6x}$.\end{center}

puis effectuer le quotient $C(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.$
\item Pour quelles valeurs de $x$ ce quotient est-il nul ?; est-il égal à 1 ? ; n'a-t-il pas de sens ?

Calculer la valeur numérique de ce quotient pour $x = \sqrt 3$.
\item Représenter, dans un repère orthonormé, les variations des fonction
\begin{center}$y_1 = 2x - 3$\quad  et \quad  $y_2 = x + 3$.\end{center}

Soit respectivement $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ les droites obtenues.

La droite $\left(D_1\right)$ coupe $y'y$ en N. Calculer les coordonnées de N.
\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point I commun aux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ et vérifier par le calcul le résultat obtenu.
\item Trouver l'équation de la perpendiculaire, $\left(D_3\right)$ , abaissée de N sur $\left(D_1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un carré ABCD de côté $a$.

Par le milieu, E, de [AB] on mène la parallèle à (BC) ; elle coupe (BD) en O et (DC) en F.

Le quart de cercle de centre A et de rayon AB, intérieur au carré, coupe (EF) en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que le triangle ABM est équilatéral.

Quelles sont les valeurs, en degrés, des arcs $\wideparen{\text{BM}}$ et $\wideparen{\text{DM}}$ ? 
\item (DM) coupe (BC) en P.

Prouver que (BM) est une médiane du triangle BPD.
\item Démontrer la similitude des triangles PBM et PDB.

Déduire des deux questions précédentes que 
\begin{center}PD$^2 = 2$ PB$^2$.\end{center}
\item Calculer, en fonction de $a$, BM, ME, MF et DE.
\end{enumerate}
\end{document}