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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les deux expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A &=&(2x + 5)^2 + 4(2x + 5) - 25 + 4x^2,\\
B&=&(3x + 4)^2- (x - 1)^2.
\end{array}\]
\item Soit $F = \dfrac{A}{B}$.

Préciser le domaine de définition de cette fraction
puis la simplifier.

On trouve ainsi $F'$.

Calculer $x$ pour $F' = 2$.

Calculer $x$ pour $F' = 1$.
\item Dans un repère orthonormé représenter graphiquement les droites d'équations respectives :
\begin{center}$y = 4(x + 1)$\quad et \quad $y = 4x + 3$.\end{center}

Quelle remarque peut-on faire, concernant ces droites ?

La valeur 1 de $F'$ pouvait-elle laisser prévoir cette constatation ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit B, P et C trois points qui se succèdent dan cet ordre sur une droite.

On trace le demi-cercle de diamètre [BC] et l'on considère un point, A, quelconque
sur le demi-cercle.

La perpendiculaire en P à (BC) coupe le demi-cercle en D, la droite (AB) en H et la droite (AC) en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que PD$^2 = \text{PB} \times \text{PC}$, puis, en utilisant les triangles BPH et KPC, que PD$^2 =\text{PH} \times \text{PK}$
\item Quelle propriété le quadrilatère ACPH possède-t-il ?

Que représente le milieu de [HC] ?
\item Démontrer l'égalité KH $\times$ KP  = KA $\times$ KC.
\item La longueur du segment [BP] est $3$~cm et celle du
segment [PC] est $5$~cm.

Calculer BD et OC.
\end{enumerate}
\end{document}