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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amiens}}
\rfoot{\small{juin  1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Amiens~\decofourright\\[7pt] juin 1971}}
\end{center}
\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer: 
\[\begin{array}{l}
(2x - 3)(2x + 3) ;\\
(2x - 3)(x + 2) ;\\
(x + 2)^2.
 \end{array}\]

Indiquer l'ensemble de définition de chacune des fractions suivantes, puis les simplifier :
\[A(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{2x^2 + x - 6} \qquad B(x) = \dfrac{4x + 8}{(x + 2)^2}.\]

Soient A$'(x)$ et $B'(x)$ les fractions ainsi obtenues.
\item Calculer $\dfrac{A'(x)}{B'(x)}$ puis $F(x) = A'(x) - B'(x)$.

Calculer la valeur numérique de $F(x)$ si $x = \sqrt 2$.

Calculer $x$ sachant que $F(x) = 0$.

Calculer $x$ sachant que $F(x) = 1$.
\item À l'aide d'un repère orthonormé, tracer les droites d'équation 
\begin{center}$y = 2x - 1$, \qquad et \qquad $y =x + 2$.\end{center}

Calculer les coordonnée du point A d'intersection de ces deux droites.

Pouvait-on déduire ce résultat de l'une des questions précédentes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A.

Soit AH la hauteur relative à BC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le cercle de diamètre AH et de centre O recoupe (AB) en M et (AC) en P.

Montrer que le quadrilatère AMHP est un rectangle et que les points M, O, P sont alignés.
\item Montrer que les triangles AMP et ACB sont semblables.
\item Montrer que le quadrilatère MBCP est inscriptible dans un cercle.

Construire le centre I du cercle circonscrit à ce quadrilatère
et expliquer la construction.
\item Soit D le point de contact d'une tangente issue de A à ce cercle.

Montrer que AD = AH.
\end{enumerate}
\end{document}