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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Réduire et ordonner le polynôme suivant : 

\[A = 2(2x - 1)^2 - (3 - 6x)(x - 1) + 4x^2 - 1.\]

Calculer $A$ pour $x = 0$,\, $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = \sqrt{3} + 1$.

Mettre $A$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit le polynôme $B = (6x - 5)^2 - (3x + 1)^2$ ; on forme $F = \dfrac{3A}{B}$.

Quel est le domaine de définition de $F$ ? Simplifier $F$.
\item Soit $F' = \dfrac{2x - 1}{x - 2}$; calculer $F'$ pour $x = \sqrt{2}$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations $F' = 1$ et $F' = 2$.
\item Construire, dans un même repère, les droites d'équations
\[
y = 2x - 1,\quad y = x- 2\quad \text{et} \quad y = 2(x- 2),\]

et retrouver à l'aide du graphique les résultats de la
question \textbf{4.}

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un cercle (C) de centre O, de diamètre AB $= 2a$. 

On trace la tangente en B à ce cercle. 

Sur cette tangente on considère un point I tel que IB $= a$. 

La droite (AI) coupe la médiatrice de [AB] en J et le cercle (C) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les longueurs des segments [AI], [AJ] et [OJ] en fonction de $a$.
\item Démontrer que le quadrilatère (BDJO) est inscriptible dans un cercle, (C$'$), dont on précisera le centre, O$'$. 

Évaluer, en fonction de $a$, le rayon de ce cercle.
\item Calculer, en fonction de $a$, les puissances du point I
	\begin{enumerate}
		\item par rapport au cercle (C),
		\item par rapport au cercle (C$'$).
	\end{enumerate}
\item Le cercle (C$'$) coupe la droite (BI) en E. 

Démontrer que E est le milieu de [BI].
\end{enumerate}
\end{document}