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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

Soit les deux fonctions polynômes $f$ et g, applications de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(4x - 1)^2 - 25 \: \text{et}\\
g(x) &=&(2x - 3)^2 + 8x^2 - 18.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$, puis $g(x)$.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré au plus.
\item Déterminer l'ensemble, $E$, des valeurs réelles de $x$ pour lesquelles on peut calculer le quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Montrer que les fonctions rationnelles :
\[\begin{array}{l l c l}
q: &E& \to&\R\\
&x&\longmapsto& q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{array}\]
et
\[\begin{array}{l l c l}
q': &E& \to&\R\\
&x&\longmapsto& q(x) = \dfrac{8(x + 1)}{3(2x + 1)}
\end{array}\]
sont égales.
\item Quelles sont les images par $q'$ des réels 0 et $\dfrac12$ ?
\item Pour quelles valeurs de ~t a-t-on 
\begin{center}$q'(x) = - 2$, \quad $q'(x)= \dfrac12$ \quad et \quad  $q'(x) = 0$ ? \end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé
\Oij, les points A, B et C de coordonnées respectives $(0, - 3)$, (3~;~0) et $(- 3~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C.
 Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$,\: $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$
ainsi que les normes de ces vecteurs.

Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item Soit D le point de coordonnées (0~;~3). 

Préciser la nature du quadrilatère (A, B, D, C).

Il existe un point M, dont on calculera les coordonnées $(x~;~y)$, tel que. l'on ait
\[\vect{\text{MA}} + 2 \vect{\text{MB}} = \vect{\text{MC}}.\]
Montrer que M, B et D sont alignés et placer le point M sur la figure.
\item On considère les droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ dont les
équations, relativement au repère \Oij, sont respectivement
$x + y+ 3 = 0$ et $- x + y+ 3 = 0$. 

Vérifier que chacune de ces droites passe par deux
des quatre points A, B, C et D. 
\item On considère l'application
\[\begin{array}{l l c l}
f: &\R \times \R& \to&\R\\
&(x~;~y)&\longmapsto&f(x~;~y) = (y + 3)^2 - x^2.
\end{array}\]
Factoriser $f(x~;~y)$. 

En déduire que l'ensemble, $E$, des points du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont telles que $f(x~;~y) = 0$ est l'union de deux droites, que l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{document}