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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amiens  juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x + 2)^2 - (2x + 3)^2,\: \text{et}\\
g(x) &=&x^2 - 2x + 1.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Mettre sous forme de produits de facteurs du premier degré $f(x)$ et $g(x)$.
\item Les fonctions rationnelles $q$ et $h$ de $\R$ vers $\R$, définies par
\begin{center}$q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$\quad  et \quad $h(x)=\dfrac{5(x + 1)}{x - 1}$\end{center}
sont-elles égales ?
\item Calculer $h\left(- \dfrac13\right)$ et $h(2,3)$.

Donner de ce dernier nombre une valeur approchée à $10^{-2}$ près par excès.
\item Résoudre dans $\R$ les équations 
\begin{center}$h(x)=0$\quad  et \quad $h(x) = 1$.\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ de réels tels que l'on ait simultanément
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y - 5x - 5 &=& 0,\\
y - \phantom{5}x + 1 &=& 0.
\end{array}\right.\]
\item Retrouver ces résultats à l'aide d'une représentation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit, dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, les points A, B, C et D définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A(5~;~0),\quad 8(7~;~6), \quad C(1~;~4) \quad et \quad D$(- 1~;~- 2)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du milieu, I, du segment [AC] et celles du milieu, J, du segment [BD].
		
Que peut-on dire des points I et J ?
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) définit un losange.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E tel que 
\[\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}}.\]

Montrer que les points B, C et E sont alignés.

Placer E sur la figure.
\item Calculer les distances CB, CD et CE.

Quelle est la nature du triangle défini par le triplet (B, E, D)?
\end{enumerate}
\end{document}