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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Amiens }
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1977 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les fonctions polynômes définies sur $\R$ par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&9 - 5x\\
g(x) &=&3x - 5\\
p(x) &=& (9 - 5x)(3x - 5)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, les équations 
\[\begin{array}{l c l}
p(x) &=& 0\\
|g(x)| &=&7.
\end{array}\]

\item Factoriser $(9 - 5x)^2 - (3x - 5)^2$.
\item Résoudre, dans $\R$ : $[f(x)]^2 = [g(x)]^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère à nouveau les fonctions $f$ et $g$ de l'exercice 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble des valeurs réelles de $x$ pour lesquelles on peut calculer le quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ?
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation
\[\dfrac{f(x)}{g(x)} = \sqrt 2.\]

Montrer que la solution peut se mettre sous la forme $\dfrac{a + b\sqrt 2}{c}$ où $a$ et $b$
sont des entiers et $c$ un entier naturel premier.
\item On donne le réel $x = \dfrac{15 - 2\sqrt 2}{7}$.

Sachant que l'on a : $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ déterminer le décimal $d$ d'ordre 3 (c'est-à-dire s'écrivant avec 3 chiffres après la virgule) tel que l'on ait:
\[d \leqslant  x < d + 10^{-3}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère les fonctions polynômes définies sur $\R$ par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&9 - 5x\\
h(x) &=&10x - 18\\
u(x) &=&81 - 90x + 25x^2\\
v(x) &=&- 3 + \dfrac53 x.\\
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un réel $m$, que l'on déterminera, tel que, pour tout $x$ on ait : $h(x) = m . f(x)$.
\item Exprimer également, de façon simple, $u(x)$ et $v(x)$ à l'aide de $f(x)$.
\item Calculer
\[f(3) ;\quad h(3) ; v(3) ;\quad  f\left(\dfrac35\right) ;\quad 
f\left(1,8 - \sqrt 2\right) ;\quad u\left(1,8 - \sqrt 2\right).\]
\end{enumerate}

\medskip
%
\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Dans un plan $P$ rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on donne les points suivants définis chacun par le couple de ses coordonnées :
\begin{center}A$(-1~;~0)$,\qquad B$(0~;~-2)$,\qquad C(0~;~2) ,\qquad D$(3~;~-2)$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Marquer les points A, B, C, D dans le repère \Oij.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}},\: \vect{\text{AD}},\:\vect{\text{CD}}$.

Préciser la nature du triangle ACD.
\item Soit E le point défini par l'égalité vectorielle :
\[\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}}.\]

Montrer que (A, C, E, D) définit un rectangle.

Calculer les coordonnées du point E.
\item L'unité d'angle étant le degré, on désigne par $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle
géométrique $\widehat{\text{ADC}}$.

Calculer la tangente de cet écart angulaire.

En déduire l'entier $n$ tel que l'on ait : $n \leqslant \alpha < n+1$.

On pourra utiliser l'extrait de table trigonométrique joint à l'énoncé.

\item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à O. 

Quelle est la nature du quadrilatère défini par (A, B, A$'$, C) ?

Montrer que les droites (A$'$B) et (AD) sont orthogonales.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tangentes 	&\np{0,46631} 	&\np{0,48773}&\np{0,50953} &\np{0,53171} &\np{0,55431}\\ \hline
Degrés		&25 			&26 		&27 			&28 		&29\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}