\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Amiens juin 1978},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies dans $\R$ par : 

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x +5)^2 - 4 (x - 2)^2\\
g(x) &=&2x + 18 - \left(x^2- 81\right)
\end{array}\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
		\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
		\item Calculer $g\left(-\dfrac53\right)$ et $g\left(\sqrt 3 + 5\right)$.

En utilisant l'encadrement suivant : $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ encadrer
$g\left(\sqrt 3 + 5\right)$ par deux décimaux de la forme $a \cdot 10^{-1},\: (a + 1) \cdot 10^{-1}$ ,\: $a \in \Z$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction rationnelle $q$ , de $\R$ dans $\R$, donnée par

\[q(x) = \dfrac{(5x + 1)(x + 9)}{g(x)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $q$ ?
		
 Simplifier, sur $\mathcal{D}$ ,l'écriture de $q(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$, les équations :
		
\[q(x) = 0, \qquad q(x) = 1\]

	\end{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère \Oij, tracer les représentations
graphiques des fonctions affines, de $\R$ dans $\R$, définies par:

\[A(x) = 5x + 1, \qquad  B(x) = - x + 11.\]

Retrouver graphiquement les résultats de la question 2. b.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points

\begin{center} A(2~;~5),\qquad  B$(5~;~-4)$,\qquad  C$(-1~;~-4)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, B) et $d$(A, C).

Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Soit I le milieu du segment [BC]. On désigne par $(C)$ le cercle qui passe par les points A, I et C. 

Calculer son rayon et les coordonnées de son centre K.

Le point E (-3 , -3) est-il élément de $(C)$ ?
\item Soit M le milieu du segment [AB] ; on définit F par :

\[\vect{\text{CF}} = \dfrac43\vect{\text{CM}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de F.
		\item Démontrer que F appartient à $(C)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit le degré pour unité d'angle.
	
Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACF}}$.

Calculer tg $\alpha$ et, en utilisant des tables trigonométriques, encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
\end{enumerate}
\end{document}