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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un élève veut s'inscrire dans une bibliothèque ; deux options sont possibles :

\begin{itemize}
\item option 1 : l'inscription coûte $12$ F et l'emprunt de chaque livre coûte $3$ F;
\item option 2 : l'inscription coûte $30$ F et l'emprunt de chaque livre coûte 1$,50$ F.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chaque option, la somme totale à verser si l'élève veut emprunter $7$ livres.

Même question s'il veut emprunter $16$ livres. Préciser dans chaque cas l'option la plus avantageuse.
\item Soit $x$ le nombre de livres empruntés.

Exprimer, en fonction de $x$, la somme totale $S_1$ à payer pour l'option 1 et la somme totale $S_2$ à payer pour l'option 2.
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'option 1 est-elle plus avantageuse que l'option 2 ? 

Expliquer comment on retrouve les résultats du 1.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (l'unité choisie est le millimètre).

On donne les applications affines suivantes :
\[\begin{array}{l c r c l c l r c}
f : &\R 	&\to	& \R	&\text{et }	&g : 	&\R&\to 	&\R\\
	&x		&\mapsto&3x+12	&			&		&x &\mapsto	& \dfrac32 x+30.
\end{array}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans $\R$, les équations $f(x) =33$, puis
$g(x)=54$.
		\item Représenter graphiquement $f$ et $g$.
		\item Calculer les coordonnées du point I intersection
des droites représentations graphiques de $f$ et $g$.
		\item On emprunte 20 livres. Indiquer sur le dessin, comment on détermine l'option la plus avantageuse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij,on donne les points

\begin{center}A$(-3~;~0)$,\qquad B$(-2~;~4)$ \quad et \quad C(2~;~3).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'unité choisie étant le centimètre, faire une figure que l'on complétera au cours du problème.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item Déterminer les coordonnées de I milieu de [AC], puis les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à I.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
\item Démontrer que les quatre points A, B, C et D sont sur un cercle $C$ dont on déterminera le centre. Calculer son rayon.
\item Écrire une équation de la tangente au cercle $C$ en B.
\end{enumerate}
\end{document}