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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Amiens }
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x)= (2x - 3)^2 + 4x -6.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(x) = 4x^2 - 8x + 3$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 3$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $A = \dfrac{1}{2 + \sqrt 3} + \dfrac{1}{2 - \sqrt 3}$ et $B = \left(3\sqrt 2 - \sqrt 3\right)^2 + 6\sqrt 6$.

Vérifier que $A$ et $B$ sont des entiers que l'on précisera.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Avec 340 francs on obtient \np{73100} lires italiennes.

Un objet coûte \np{86000} lires italiennes. Quel est son prix en francs ?

\bigskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

L'unité choisie étant le cm, soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB $= 3$ et AC $= 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Calculer la longueur du segment [BC].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D symétrique de B par rapport à A et le point E symétrique de C par rapport à A.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ?
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Soit F le point tel que $\vect{\text{AF}} = 3\vect{\text{AB}}$.

La parallèle à la droite (FC) passant par B coupe la droite (AC) en G.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points F et G sur la figure.
		\item Démontrer que $\dfrac{\overline{\text{AG}}}{\overline{\text{AC}}}= \dfrac13$.
		
En déduire la longueur du segment [AG].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 3y&=&6 \\
6x + 4y&=&5.
\end{array}\right.\]

\item Dans la suite de l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. L'unité choisie sera le centimètre.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives :

\[\begin{array}{l l}
\left(D_1\right)\quad& 2x -3y - 6 = 0\\
\left(D_2\right)\quad& 6x + 4y - 5= 0.
\end{array}\]

Indiquer la méthode utilisée pour tracer ces droites.
		\item On note E le point d'intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		
Quelles sont les coordonnées de E ?
		\item Montrer que $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points F et G de coordonnées respectives $\left(\dfrac92~;~1\right)$ et  $\left( -\dfrac12~;~2\right)$ et vérifier graphiquement que F appartient à $\left(D_1\right)$ et que G appartient à $\left(D_2\right)$.
		\item Calculer les longueurs EF et EG.
		
		Quelle est la nature du triangle EFG ?
		\item Dans le triangle EFG on note H le pied de la hauteur issue de E.
		
Calculer les coordonnées de H.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}